(1) ┐R P (2) ┐Q∨R P
(3) ┐Q (1)(2)T,I (4) ┐(P∧┐Q) P (5) ┐P∨Q (4)T,E (6) ┐P (3)(5)T,I
b)J→(M∨N)，(H∨G)→J，H∨G?M∨N (1) (H∨G) →J P (2) (H∨G) P
(3) J (1)(2)T,I (4) J→(M∨N) P (5) M∨N (3)(4)T,I c)B∧C，(B?C)→(H∨G)?G∨H (1) B∧C P (2) B (1)T,I (3) C (1)T,I (4) B∨┐C (2)T,I (5) C∨┐B (3)T,I (6) C→B (4)T,E (7) B→C (5)T,E (8) B?C (6)(7)T,E (9) (B?C) →(H∨G) P (10) H∨G (8)(9)T,I
d)P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S)?┐S (1) (┐Q∨R) ∧┐R (2) ┐Q∨R (1)T,I (3) ┐R (1)T,I (4) ┐Q (2)(3)T,I (5) P→Q P
(6) ┐P (4)(5)T,I (7) ┐(┐P∧┐S) P (8) P∨┐S (7)T,E (9) ┐S (6)(8)T,I (2) 证明：
a)┐A∨B，C→┐B?A→┐C
(1) ┐(A→┐C) P (2) A (1)T,I (3) C (1)T,I (4) ┐A∨B P
(5) B (2)(4)T,I (6) C→┐B P
(7) ┐B (3)(6)T,I (8) B∧┐B 矛盾。(5),(7)
b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)?A→(B→F) (1) ┐(A→(B→F)) P (2) A (1)T,I (3) ┐(B→F) (1)T,I (4) B (3)T,I (5) ┐F (3)T, (6) A→(B→C) P
(7) B→C (2)(6)T,I (8) C (4)(7)T,I (9) ┐F→(D∧┐E) P
(10) D∧┐E (5)(9)T,I (11) D (10)T,I (12) C∧D (8)(11)T,I (13) (C∧D) →E P
(14) E (12)(13)T,I (15) ┐E (10)T,I
(16) E∧┐E 矛盾。(14),(15) c)A∨B→C∧D，D∨E→F?A→F
(1) ┐(A→F) P (2) A (1)T,I (3) ┐F (1)T,I (4) A∨B (2)T,I (5) (A∨B) →C∧D P
(6) C∧D (4)(5)T,I (7) C (6)T,I (8) D (6)T,I (9) D∨E (8)T,I (10) D∨E→F P
(11) F (9)(10)T,I (12) F∧┐F 矛盾。(3),(11)
d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)?B→E (1) ┐(B→E) P (2) B (1)T,I (3) ┐E (1)T,I (4) ┐B∨D P
(5) D (2)(4)T,I (6) (E→┐F) →┐D P
(7) ┐(E→┐F) (5)(6)T,I (8) E (7)T,I (9) E∧┐E 矛盾
e)(A→B)∧(C→D)，(B→E)∧(D→F)，┐(E∧F)，A→C?┐A (1) (A→B) ∧(C→D) P (2) A→B (1)T,I (3) (B→E) ∧(D→F) P (4) B→E (3)T,I (5) A→E (2)(4)T,I (6) ┐(E∧F) P (7) ┐E∨┐F (6)T,E (8) E→┐F (7)T,E (9) A→┐F (5)(8)T,I (10) C→D (1)T,I (11) D→F (3)T,I
(12) C→F (10)(10)T,I (13) A→C P
(14) A→F (13)(12)T,I (15) ┐F→┐A (14)T,E (16) A→┐A (9)(15)T,I (17) ┐A∨┐A (16)T,E (18) ┐A (17) T,E (3) 证明：
a)┐A∨B，C→┐B?A→┐C
(1) A P (2) ┐A∨B P
(3) B (1)(2)T,I (4) C→┐B P
(5) ┐C (3)(4)T,I (6) A→┐C CP
b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)?A→(B→F)
(1) A P (2) A→(B→C) P
(3) B→C (1)(2)T,I (4) B P
(5) C (3)(4)T,I (6) (C∧D) →E P (7) C→(D→E) (6)T,E (8) D→E (5)(7)T,I (9) ┐D∨E (8)T,E (10) ┐(D∧┐E) (9)T,E (11) ┐F→(D∧┐E) P
(12) F (10)(11)T,I (13) B→F CP (14) A→(B→F) CP c)A∨B→C∧D，D∨E→F?A→F
(1) A P
(2) A∨B (1)T,I (3) A∨B→C∨D P
(4) C∧D (2)(3)T,I (5) D (4)T,I (6) D∨E (5)T,I
(7) D∨E→F P
(8) F (6)(7)T,I (9) A→F CP
d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)?B→E
(1) B P(附加前提) (2) ┐B∨D P
(3) D (1)(2)T,I (4) (E→┐F)→┐D P
(5) ┐(E→┐F) (3)(4)T,I (6) E (5)T,I (7) B→E CP (4)证明：
a) R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→Q?┐P (1) R→┐Q P (2) R∨S P (3) S→┐Q P
(4) ┐Q (1)(2)(3)T,I (5) P→Q P
(6) ┐P (4)(5)T,I b) S→┐Q，S∨R，┐R，┐P?Q?P 证法一：
(1) S∨R P (2) ┐R P
(3) S (1)(2)T,I (4) S→┐Q P (5) ┐Q (3)(4)T,I (6) ┐P?Q P (7)(┐P→Q)∧(Q→┐P) (6)T,E (8) ┐P→Q (7)T,I (9) P (5)(8)T,I 证法二：（反证法）
(1) ┐P P（附加前提） (2) ┐P?Q P
(3)（┐P→Q）∧（ Q→┐P） (2)T，E (4) ┐P→Q (3)T,I (5) Q (1)(4)T,I (6) S→┐Q P
(7) ┐S (5)(6)T,I (8) S∨R P
(9) R (7)(8)T,I (10) ┐R P
(11) ┐R∧R 矛盾（9）（10）T，I c)┐(P→Q)→┐(R∨S)，((Q→P)∨┐R)，R?P?Q (1) R P (2) (Q→P) ∨┐R P
(3) Q→P (1)(2)T,I (4)┐(P→Q) →┐(R∨S) P (5) (R∨S) →(P→Q) (4)T,E (6) R∨S (1)T,I (7) P→Q (5)(6) (8) (P→Q) ∧(Q→P) (3)(7)T,I (9) P?Q (8)T,E (5) 解：
a) 设P：我跑步。Q：我很疲劳。 前提为：P→Q，┐Q
(1) P→Q P (2) ┐Q P (3) ┐P (1)(2)T,I 结论为：┐P，我没有跑步。
b) 设S：他犯了错误。 R：他神色慌张。 前提为：S→R，R
因为（S→R）∧R?（┐S∨R）∧R?R。故本题没有确定的结论。 实际上，若S →R为真，R为真,则S可为真，S也可为假，故无有效结论。
c) 设P：我的程序通过。 Q：我很快乐。
R：阳光很好。 S：天很暖和。（把晚上十一点理解为阳光不
好）
前提为：P→Q，Q→R，┐R∧S
(1) P→Q P (2) Q→R P
(3) P→R (1)(2)T,I (4) ┐R∨S P
(5) ┐R (4)T,I (6) ┐P (3)(5)T,I
结论为： ┐P，我的程序没有通过
习题2-1,2-2 （1） 解：
a) 设W（x）：x是工人。c：小张。 则有 ?W（c） b) 设S（x）：x是田径运动员。B（x）：x是球类运动员。h：他则有 S（h）?B（h） c) 设C（x）：x是聪明的。B（x）：x是美丽的。l：小莉。 则有 C（l）? B（l） d）设O（x）：x是奇数。 则有 O（m）?? O（2m）。 e)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。 则有 （?x）（Q（x）?R（x）） f) 设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。 则有 （?x）（R（x）?Q（x）） g) 设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。 则有 ?（?x）（R（x）?Q（x）） h)设P（x，y）：直线x平行于直线y G（x，y）：直线x相交于直线y。 则有 P（A，B）??G（A，B） （2） 解：
a) 设J(x)：x是教练员。L(x)：x是运动员。 则有 （?x）（J（x）?L（x））
b) 设S(x)：x是大学生。L(x)：x是运动员。 则有 （?x）（L（x）?S（x））
c) 设J(x)：x是教练员。O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壮的。 则有 （?x）（J（x）?O（x）?V（x）） d) 设O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壮的。j：金教练 则有 ? O（j）??V（j）
e) 设L(x)：x是运动员。J(x)：x是教练员。 则 ?（?x）（L（x）?J（x））
本题亦可理解为：某些运动员不是教练。 故 （?x）（L（x）??J（x）） f) 设S（x）：x是大学生。L（x）：x是运动员。C（x）：x是国家选手。 则有 （?x）（S（x）?L（x）?C（x）） g) 设C（x）：x是国家选手。V（x）：x是健壮的。 则有 （?x）（C（x）?V（x））或?（?x）（C（x）??V（x）） h) 设C（x）：x是国家选手。O（x）：x是老的。L（x）：x 是运动员。 则有 （?x）（O（x）?C（x）?L（x）） i) 设W（x）：x是女同志。H（x）：x是家庭妇女。C（x）：x是国家选手。
则有 ?（?x）（W（x）?C（x）?H（x）） j）W（x）：x是女同志。J（x）：x是教练。C（x）：x是国家选手。 则有（?x）（W（x）?J（x）?C（x）） k）L（x）：x 是运动员。J（y）：y是教练。A(x,y)：x钦佩y。 则有 （?x）（L（x）? （?y）（J（y）?A（x，y））） l）设S（x）：x是大学生。L（x）：x 是运动员。A(x,y)：x钦佩y。 则（?x）（S（x）?（?y）（L（y）?? A(x,y)））
习题2-3 （1）解：
a）5是质数。
b）2是偶数且2是质数。
c）对所有的x，若x能被2除尽，则x是偶数。 d）存在x，x是偶数，且x能除尽6。（即某些偶数能除尽6） e）对所有的x，若x不是偶数，则x不能被2除尽。
f）对所有的x，若x是偶数，则对所有的y，若x能除尽y，则y也是偶数。
g）对所有的x，若x是质数，则存在y，y是偶数且x能除尽y（即所有质数能除尽某些偶数）。
h）对所有的x，若x是奇数，则对所有y，y是质数，则x不能除尽y（即任何奇数不能除尽任何质数）。 （2）解：（?x）(?y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(?!z)(L(z)∧R(x,y,z))) 或 （?x）(?y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(?z)(L(z)∧R(x,y,z) ∧┐(?u)(┐E(z,u) ∧L(u)∧R(x,y,u)))) （3）解：
a) 设N(x):x是有限个数的乘积。 z(y):y为0。
P(x):x的乘积为零。 F(y):y是乘积中的一个因子。
则有 (?x)((N(x)∧P(x)→(?y)(F(y)∧z(y)))
b) 设R(x):x是实数。Q(x,y):y大于x。 故 (?x)(R(x)→(?y)(Q(x,y)∧R(y)))
c) R(x):x是实数。G(x,y):x大于y。 则 (?x)(?y)(?z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,x·z)
（4）解：设G(x,y):x大于y。则有 (?x)(?y)(?z)(G(y,x) ∧G(0,z)→G(x·z,y·z))
（5）解：设N(x):x是一个数。 S(x,y):y是x的后继数。E(x,y)：x=y.则
a) (?x)(N(x)→(?!y)(N(y)∧S(x,y)))
或(?x)(N(x)→(?y)(N(y)∧S(x,y) ∧┐(?z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(x,z))))
b) ┐(?x)(N(x)∧S(x,1))
c) (?x)(N(x)∧┐S(x,2)→(?!y)(N(y) ∧S(y,x)))
或(?x)(N(x)∧┐S(x,2)→(?y)(N(y) ∧S(y,x) ∧┐(?z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(z,x))))
（6）解：设S(x):x是大学生。 E(x):x是戴眼睛的。
F(x):x是用功的。 R(x,y):x在看y。
G(y):y是大的。 K(y):y是厚的。 J(y):y是巨著。 a:这
本。 b:那位。
则有 E(b)∧F(b)∧S(b)∧R(b,a)∧G(a)∧K(a)∧J(a)
（7）解：设P(x,y):x在y连续。 Q(x,y):x>y。则
P(f,a)?((?ε)(?δ)(?x)(Q(ε,0)→(Q(δ,0)∧Q(δ,|x-a|)→Q(ε,|f(x)-f(a)|))))
习题2-4
(1) 解：a) x是约束变元，y是自由变元。 b) x是约束变元，P(x)∧Q(x)中的x受全称量词?的约束，S(x)中的x受存在量词?的约束。
c) x，y都是约束变元,P(x)中的x受?的约束，R(x)中的x受?的约束。 d) x，y是约束变元，z是自由变元。 (2) 解：a) P(a)∧P(b)∧P(c) b) R(a)∧R(b)∧R(c)∧S(a)∧S(b)∧S(c) c) (P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))∧(P(c)→Q(c) d) (┐P(a)∧┐P(b)∧┐P(c))∨(P(z)∧P(b)∧P(c)) e) (R(a)∧R(b)∧R(c))∧(S(a)∨S(b)∨S(c)) (3) 解： a) (?x)(P(x)∨Q(x))?(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))， 但P(1)为T，Q(1)为F，P(2)为F，Q(2)为T,所以 (?x)(P(x)∨Q(x))?(T∨F)∧(F∨T)??T。 b) (?x)(P→Q(x))∨R(a)? ((P→Q(?2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a) 因为P 为T，Q(?2)为T，Q(3)为T，Q(6)为F，R(5)为F，所以 (?x)(P→Q(x))∨R(a)? ((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨F? F (4) 解：a) (?u)(?v)(P(u，z)→Q(v))?S(x，y) b) (?u)(P(u)→ (R(u)∨Q(u))∧(?v)R(v))→(?z)S(x,z) (5) 解：a) ((?y)A(u，y)→(?x)B(x，v))∧(?x)(?z)C(x，t，z) b) ((?y)P(u，y)∧(?z)Q(u，z))∨(?x)R(x，t)
习题2-5 （1）解： a) P(a,f(a))∧P(b,f(b))?P(1,f(1))∧P(2,f(2))?P(1,2)∧P(2,1)??T∧F?F
b) (?x)(?y)P(y,x)? (?x) (P(1,x)∨P(2,x))? (P(1,1)∨P(2,1))∧(P(1,2)∨P(2,2))
? (T∨F)∧(T∨F)?? T
c) (?x)( ?y)(P(x,y)→P(f(x),f(y)))??? (?x) ((P(x,1)→P(f(x),f(1)))∧(P(x,2) →P(f(x)f(2))))