量Ft?mv1?mv2。联立以上各式解得v1据得v1?8.15m/s1F2RR?[1?2(F?ma)] v2?1[F1?2(F?ma)]，代入数222mBF2mBIv2?1.85m/s
2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系
例8、如图所示，abcd和a/b/c/d/为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。ab、a/b/间的宽度是cd、c/d/间宽度的2倍。设导轨足够长，导体棒ef的质量是棒gh的质量的2倍。现给导体棒ef一个初速度v0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少？
a
/
a e b c bc/ h / g d d/ f 解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒ef的速度减小到v1， 导体棒gh的速度增大到v2，则有2BLv1-BLv2=0，即v2=2v1。对导体棒ef由动量定理得：?2BLI?t?2mv1?2mv0 对导体棒gh由动量定理得：BLI?t?mv2?0。由以上各式可得：v1?3、磁场方向与导轨平面不垂直
例9、如图所示，ab和cd是固定在同一水平面内的足够长平行金属导轨，aeb B a 和cf是平行的足够长倾斜导轨，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中。在水F 2 c 1 平导轨上有与导轨垂直的导体棒1，在倾斜导轨上有与导轨垂直且水平的导体d e θ 棒2，两棒与导轨间接触良好，构成一个闭合回路。已知磁场的磁感应强度为
f θ B，导轨间距为L，倾斜导轨与水平面夹角为θ，导体棒1和2质量均为m，
电阻均为R。不计导轨电阻和一切摩擦。现用一水平恒力F作用在棒1上，从静止开始拉动棒1，同时由静止开始释放棒2，经过一段时间，两棒最终匀速运动。忽略感应电流之间的作用，试求： （1）水平拉力F的大小；
（2）棒1最终匀速运动的速度v1的大小。
解析（1）1棒匀速：F?BIL2棒匀速：BIL?mgtan? 解得：F?mgtan?
（2）两棒同时达匀速状态，设经历时间为t，过程中平均感应电流为I，据动量定理， 对1棒：Ft?BILt?mv1?0；对2棒：mgsin??t?BILcos??t?mv2?0 联立解得：v2?v1cos?
匀速运动后，有：E?BLv1?BLv2cos?，I?E 解得：v1?2mgRtan?
2RB2L2(1?cos2?)三、轨道滑模型
例10、如图所示，abcd为质量m的U形导轨，ab与cd平行，放在光滑绝缘
的水平面上，另有一根质量为m的金属棒PQ平行bc放在水平导轨上，PQ棒右边靠着绝缘竖直光滑且固定在绝缘水平面上的立柱e、f,U形导轨处于匀强磁场中，磁场以通过e、f的O1O2为界，右侧磁场方向竖直向上，左侧磁场方向水平向左，磁感应强度大小都为B，导轨的bc段长度为L,金属棒PQ的电阻R，其余电阻均可不计，金属棒PQ与导轨间的动摩擦因数为μ，在导轨
上作用一个方向向右，大小F==mg的水平拉力，让U形导轨从静止开始运动．设导轨足够长．求： (1)导轨在运动过程中的最大速度υm
??12v0,v2?v0。 33
(2)若导轨从开始运动到达到最大速度υm的过程中，流过PQ棒的总电量为q，则系统增加的内能为多少? 解析：(1)当导轨的加速度为零时，导轨速度最大为υm。导轨在水平方向上受到外力F、水平向左的安培力F1和滑动摩擦力F2，则
B2L2vmE F?F1?F2?0，F1?BIL,I?,E?BLvm，即F1?RR以PQ棒为研究对象，PQ静止，在竖直方向上受重力mg、竖直向上的支持力N和安培力F3，则
B2L2vmN?F3?mg,F3?F1,F2??N，得F2??(mg?)，将F1和F2代入解得
RB2L2vmmgR0?(1??)(g?)，得vm?22
mRBL(2)设导轨从开始运动到达到最大速度的过程中，移动的距离为S，在这段过程中，经过的时间为t,PQ棒中的平均
电流强度为I1，QPbC回路中的平均感应电动势为E1，则
E1?EqR??。设系统增加的内能为?E，由功能关系得：,???SLB,I1?1,q?I1t，得S?tRBLmgqRm3g2R212? FS?mvm??E，则?E?44BL22BL电磁感应中动量定理的运用
动量定律I＝?P。
设想在某一回路中，一部分导体仅在安培力作用下运动时，安培力F为变力，但其冲量可用它对时间的平均值进行计算，即I＝F?t，
而F＝BIL（I为电流对时间的平均值）故有：BIL?t=mv2－mv1 .而It=q ,故有q=
mv2?mv1
BL理论上电量的求法：q=I?t。
这种方法的依据是电流的定义式I=q/t该式的研究对象是通电导体的某一截面，若在t时间内流过该截面的电量为q，则流过该切面的电流为I＝q/t，显然，这个电流应为对时间的平均值，因此该式应写为I= q/t ，变形后可以得q＝It，这个关系式具有一般性，亦即无论流经导体的电流是恒定的还是变化的，只要电流用这段时间内的平均值代入，该式都适用，而平均电流的求解，在电磁感应问题中最为常见的思路为：对某一回路来说，据法拉第电磁感应定律，得E=
??，显然该感应电动势也为对?tE（RR其时间的平均值，再由I＝
为回路中的总电阻）可以得到I＝
综上可得q＝
??。 R?t????B?s。若B不变，则q＝＝ RRR电量q与安培力的冲量之间有什么联系？可用下面的框图来说明。
从以上框图可见，这些物理量之间的关系可能会出现以下三种题型： 第一：方法Ⅰ中相关物理量的关系。 第二：方法Ⅱ中相关物理量的关系。
第三：就是以电量作为桥梁，直接把上面框图中左右两边的物理量联系起来，如把导体棒的位移和速度联系起来，但由于这类问题导体棒的运动一般都不是匀变速直线运动，无法使用匀变速直线运动的运动学公式进行求解，所以这种方法就显得十分巧妙。这种题型难度最大。 2在解题中强化应用意识，提高驾驭能力
由于这些物理量之间的关系比较复杂 ，只能从理论上把握上述关系还不够，还必须通过典型问题来培养学生的应用能力，达到熟练驾驭的目的。请看以下几例：
（1）如图1所示，半径为r的两半圆形光滑金属导轨并列竖直放置，在轨道左侧上方MN间接有阻值为R0的电阻，整个轨道处在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两轨道间距为L，一电阻也为R0质量为m的金属棒ab从MN处由静止释放经时间t到达轨道最低点cd时的速度为v，不计摩擦。求： （1）棒从ab到cd过程中通过棒的电量。 （2）棒在cd处的加速度。
分析与解
有的同学据题目的已知条件，不假思索的就选用动量定理，对该过程列式如下：
mgt－BILt=mv －0 显然该式有两处错误：其一是在分析棒的受力时，漏掉了轨道对棒的弹力N，从而在使用动量定理时漏掉了弹力的冲量IN；其二是即便考虑了IN，这种解法也是错误的，因为动量定理的表达式是一个矢量式，三个力的冲量不在同一直线上，而且IN的方向还不断变化，故 我们无法使用I=Ft来求冲量，亦即无法使用前面所提到的方法二。 为此，本题的正确解法是应用前面提到的方法一，具体解答如下： 对应于该闭合回路应用以下公式：
(2)如图2所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个边长为a（a﹤L）的正方形闭合线圈以初速度v0垂直磁场边界滑过磁场后，速度为v(v﹤v0)，那么线圈 A.完全进入磁场中时的速度大于（v0+v）/2 B.完全进入磁场中时的速度等于（v0+v）/2 C.完全进入磁场中时的速度小于（v0+v）/2 D.以上情况均有可能 分析与解
这是一道物理过程很直观的问题，可分为三个阶段：进入和离开磁场过程中均为加速度不断减少的减速运动，完全进入磁场后即作匀速直线运动，那么这三个过程的速度之间的关系如何呢？乍看好象无从下手，但对照上面
的理论分析，可知它属于第三类问题。首先，由于进入磁场和离开磁场两段过程中，穿过线圈回路的磁通量变化量Δφ相同，故有q0=q=Δφ/R；其次，对线框应用动量定理，设线框完全进入磁场后的速度为v′，则有： 线框进入磁场过程：
（3）在水平光滑等距的金属导轨上有一定值电阻R,导轨宽d电阻不计,导体棒AB垂直于导轨放置,质量为m ,整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中,磁感应强度为B.现给导体棒一水平初速度v0,求AB在导轨上滑行的距离.
(4)如图3所示,在水平面上有两条导电导轨MN、PQ，导轨间距为d，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向里，磁感应强度的大小为B，两根完全相同的金属杆1、2间隔一定的距离摆开放在导轨上，且与导轨垂直。它们的电阻均为R，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计，金属杆的摩擦不计。杆1以初速度v0滑向杆2，为使两杆不相碰，则杆2固定与不固定两种情况下，最初摆放两杆时的最少距离之比为：
A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.1:1 分析与解：
本题的一个明显特点就是已知杆1的初速度v0，求为使两杆不相碰，最初摆放两杆时的最少距离问题。分析后易见，两杆的运动都不是匀变速运动，初速v0与最初摆放两杆时的最少距离之间的联系比较隐蔽，若能对前面的理论分析比较熟悉，易知该题仍属于上面提到的第三类问题。简解如下：
杆2固定时杆1作加速度减小的减速运动，最小距离s1对应于当杆1至杆2处时，速度恰好减为零。故有 综上可得：S1:S2=2:1。
通过理论与实践的有机结合，使学生加深了对本知识块地理解，提高了驾驭知识的能力，有效的解决了这个难点。
变式训练一: 如图所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，EG间宽度为FH间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。ab、cd是质量均为m的金属棒，现让ab从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长。试求： (1)ab、cd棒的最终速度；(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。
解析 下滑进入磁场后切割磁感线，在电路中产生感应电流，、、
各受不同的磁场力作用而分不再受磁场力作用，各自以
别作变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，不同的速度匀速滑动。
(1)自由下滑，机械能守恒： ①
由于力为：
、串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度 ②
，故它们的磁场
在磁场力作用下，、各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当时，电路中感应电流
为零()，安培力为零，、运动趋于稳定，此时有：所以 ③
、受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得： ④ ⑤
联立以上各式解得：，
(2)根据系统的总能量守恒可得：
变式训练二:如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒a和b，与导轨紧密接触且可自由滑动。先固定a，释放b，当b的速度达到10m/s时，再释放a，经过1s后，a的速度达到12m/s，则（1）此时b的速度大小是多少？（2）若导轨很长，a、b棒最后的运动状态。
解析 （1） 当棒先向下运动时，在和以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，
于是棒受到向下的安培力，棒受到向上的安培力，且二者大小相等。释放棒后，经过时间t，分别以和为研究对象，根据动量定理，则有：
，
，代入数据可解得：