空间解析几何
基本知识 一、向量
1、已知空间中任意两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，则向量
M1M2?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)
2、已知向量a?(a1,a2,a3)、b?(b1,b2,b3)，则 （1）向量a的模为|a|???????a1?a2?a3
222（2）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3) （3）?a?(?a1,?a2,?a3) 3、向量的内积a?b
（1）a?b?|a|?|b|?cos?a,b? （2）a?b?a1b1?a2b2?a3b3
其中?a,b?为向量a,b的夹角，且0??a,b???
注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积a?b（遵循右手原则，且a?b?a、a?b?b）
??????????????????????????ia?b?a1??ja2b2??ka3 b3??b1??5、（1）a//b?a??b?????a1a2a3 ??b1b2b3（2）a?b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0 二、平面
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1、平面的点法式方程
已知平面过点P(x0,y0,z0)，且法向量为n?(A,B,C)，则平面方程为
?A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0
注意：法向量为n?(A,B,C)垂直于平面
2、平面的一般方程Ax?By?Cz?D?0，其中法向量为n?(A,B,C) 3、（1）平面过原点(0,0,0)? Ax?By?Cz?0
（2）平面与x轴平行（与yoz面垂直）?法向量n垂直于x轴?By?Cz?D?0
（如果D?0，则平面过x轴）
平面与y轴平行（与xoz面垂直）?法向量n垂直于y轴?Ax?Cz?D?0
（如果D?0，则平面过y轴）
平面与z轴平行（与xoy面垂直）?法向量n垂直于z轴?Ax?By?D?0
（如果D?0，则平面过z轴）
（3）平面与xoy面平行?法向量n垂直于xoy面?Cz?D?0
平面与xoz面平行?法向量n垂直于xoz面?By?D?0 平面与yoz面平行?法向量n垂直于yoz面?Ax?D?0 注意：法向量的表示 三、直线
1、直线的对称式方程
过点P(x0,y0,z0)且方向向量为v?(v1,v2,v3)直线方程
??????????x?x0y?y0z?z0 ??v1v2v3注意：方向向量v?(v1,v2,v3)和直线平行 2、直线的一般方程?
?A1x?B1y?C1z?D1?0，注意该直线为平面
Ax?By?Cz?D?0222?2101
A1x?B1y?C1z?D1?0和A2x?B2y?C2z?D2?0的交线
?x?x0?v1t?3、直线的参数方程?y?y0?v2t
?z?z?vt03?4、（1）方向向量v?(0,v2,v3)，直线垂直于x轴 （2）方向向量v?(v1,0,v3)，直线垂直于y轴 （3）方向向量v?(v1,v2,0)，直线垂直于z轴 5、（1）方向向量v?(0,0,v3)，直线垂直于xoy面 （2）方向向量v?(0,v2,0)，直线垂直于xoz面 （3）方向向量v?(v1,0,0)，直线垂直于yoz面 应用 一、柱面
??f1(x,y,z)?01、设柱面的准线方程为?，母线的方向向量v?(v1,v2,v3)，求柱面方程
?f2(x,y,z)?0??????方法：在准线上任取一点M(x1,y1,z1)，则过点M(x1,y1,z1)的母线为
x?x1y?y1z?z1 ??v1v2v3又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故
f1(x1,y1,z1)?0 （1） f2(x1,y1,z1)?0 （2）
令
x?x1y?y1z?z1???t （3） v1v2v3由（1）、（2）、（3）消去x1,y1,z1求出t，再把t代入求出关于x,y,z的方程F(x,y,z)?0，则该方程为所求柱面方程
?x2?y2?z2?1?例1：柱面的准线为?，而母线的方向为v???1,0,1?，求这柱面方
222?2x?2y?z?2程。 解：在柱面的准线上任取一点M(x1,y1,z1)，则过点M(x1,y1,z1)的母线为
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x?x1y?y1z?z1?? ?101即x1?x?t,y1?y,z1?z?t（1）
又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故x1?y1?z1?1（2），2x1?2y1?z1?2（3） 由（1）（2）（3）得x2?y2?z2?2xz?1?0
2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径
方法：在圆柱面上任取一点M0(x0,y0,z0)，过M0(x0,y0,z0)点做一平面垂直于对称轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点M1(x1,y1,z1)，则|M0M1|为圆柱的半径 例2：已知圆柱面的轴为柱面的方程。
解：设圆柱面上任取一点M0(x0,y0,z0)，过点M0(x0,y0,z0)且垂直于轴的平面为
222222xy?1z?1，点M1（1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆??1?2?2(x?x0)?2(y?y0)?2(z?z0)?0
轴方程的参数式为x?t,y?1?2t,z??1?2t代入平面方程得
x0?2y0?2z0
9x?2y0?2z09?2x0?4y0?4z0?9?2x0?4y0?4z0,,) 故该平面和轴的交点为(0999115过点M1（1，-2，1）和轴垂直的平面和轴的交点为(,,?)
333 t?因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得
8x2?5y2?5z2?4xy?4xz?8yz?18y?18z?99?0
注意：也可找圆柱面的准线圆处理
例3：求以直线x=y=z为对称轴，半径R=1的圆柱面方程
解：在圆柱面上任取一点M0(x0,y0,z0)，过点M0(x0,y0,z0)且垂直于轴的平面为
(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?0
轴方程的参数式为x?t,y?t,z?t代入平面方程得
x0?y0?z0
3x?y0?z0x0?y0?z0x0?y0?z0,,) 故该平面和轴的交点为M1(0333 t?
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则M0M1的长等于半径R=1 故利用距离公式得
(x0?x0?y0?z02x?y0?z02x?y0?z02)?(y0?0)?(z0?0)?1
333即所求方程为(2x0?y0?z0)2?(?x0?2y0?z0)2?(?x0?y0?2z0)2?9 二、锥面
锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。 1、设锥面的准线为??f1(x,y,z)?0，顶点为M0(x0,y0,z0)，求锥面方程
f(x,y,z)?0?2方法：在准线上任取一点M1(x1,y1,z1)，则过点M1(x1,y1,z1)的母线为
x?x0y?y0z?z0 （1） ??x1?x0y1?y0z1?z0又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故
f1(x1,y1,z1)?0 （2） f2(x1,y1,z1)?0 （2）
由（1）、（2）、（3）消去x1,y1,z1求出关于x,y,z的方程F(x,y,z)?0，则该方程为所求锥面方程
?x2y2?例1锥面的顶点在原点，且准线为?a2?b2?1，求这锥面方程。 ??z?c解：在准线上任取一点M1(x1,y1,z1)，则过点M1(x1,y1,z1)的母线为
xyz?? x1y1z1xy又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故12?12?1且z1?c
abx2y2z2上面三个方程消去x1,y1,z1得2?2?2?0
abc2、圆锥面
已知圆锥面的顶点M0(x0,y0,z0)，对称轴（或轴）的方向向量为v?(v1,v2,v3)，求圆
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