锥面方程
方法：在母线上任取一点M(x,y,z)，则过该点的母线的方向向量为
?n?(x?x0,y?y0,z?z0)
利用v和n的夹角不变建立关于x,y,z的方程，该方程为所求
例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。（(x?y?z)2?x2?y2?z2） 解：在坐标轴上取三点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，则过三点的平面为
??x?y?z?1
故对称轴的方向向量为(1,1,1)，一条母线的方向向量为(1,0,0)， 则母线和对称轴的夹角为1?1?1?0?1?0?3?1?cos?，即cos???3 3在母线上任取一点M(x,y,z)，则过该点的母线的方向向量为n?(x,y,z)
x?y?z?x2?y2?z2?3cos?
所以(x?y?z)2?x2?y2?z2
例3圆锥面的顶点为(1,2,3)，轴垂直于平面2x?2y?z?1?0，母线和轴成30，求圆锥面方程
解：在母线上任取一点M(x,y,z)，轴的方向向量为(2,2,?1)，母线的方向向量为
?0n?(x?1,y?2,z?3)
(x?1)2?(y?2)2?(z?3)2?9cos300
则2(x?1)?2(y?2)?(z?3)?即 4(2x?2y?z?3)2?27(x?1)2?27(y?2)2?27(z?3)2 三、旋转曲面
x?x0y?y0z?z0?f1(x,y,z)?0??设旋转曲面的母线方程为?，旋转轴为，求旋转XYZf(x,y,z)?0?2曲面方程
方法：在母线上任取一点M1(x1,y1,z1)，所以过M1(x1,y1,z1)的纬圆方程
?X(x?x1)?Y(y?y1)?Z(z?z1)?0 ?222222?(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?(x1?x0)?(y1?y0)?(z1?z0)又因为M1(x1,y1,z1)在母线上，有
?f1(x1,y1,z1)?0 ?f(x,y,z)?0?2111
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由上述四个方程消去x1,y1,z1的方程F(x,y,z)?0为旋转曲面
xyz?1绕直线l：x?y?z旋转一周所得的旋转曲面的方程。 ??210解：在母线上任取一点M1(x1,y1,z1)，则过M1(x1,y1,z1)的纬圆方程
例4求直线
?(x?x1)?(y?y1)?(z?z1)?0 ?222222?x?y?z?x1?y1?z1又因为M1(x1,y1,z1)在母线上，有
x1y1z1?1?? 210由上述方程消去x1,y1,z1的方程得9x2?9y2?9z2?5(x?y?z?1)2?9 四、几种特殊的曲面方程 1、母线平行于坐标轴的柱面方程 设柱面的准线是xoy平面上的曲线??f(x,y)?0，则柱面方程为f(x,y)?0
z?0??g(x,z)?0设柱面的准线是xoz平面上的曲线?，则柱面方程为g(x,z)?0
y?0?设柱面的准线是yoz平面上的曲线??h(y,z)?0，则柱面方程为h(y,z)?0
?x?0注意：（1）母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母
（2）准线为坐标平面内的椭圆、双曲线、抛物线等柱面称为椭圆柱面、双曲线柱面、
抛物线柱面
例求柱面方程
?y2?2z（1）准线是?，母线平行于x轴
?x?0解：柱面方程为y?2z
2?x2y2?z2?1??（2）准线是?4，母线平行于y轴 9?y?3?解：柱面方程为x?4z
22?x2y2z2??1??（3）准线是?4，母线平行于z轴 99?x?2?解：x?2
2、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面
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?f(x,y)?022设母线是?，旋转轴是x轴的旋转曲面为f(x,?y?z)?0；旋转轴是y轴
z?0?的旋转曲面为f(?x2?z2,y)?0 （同理可写出其它形式的旋转曲面方程）
注意：此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们的系数相等。
y2z2??x?0是什么曲面，它是由xoy面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的 例方程22y2?x?0绕x轴旋转而成的 解：xoy面上的23、平行于坐标面的平面和曲面f(x,y,z)?0的交线方程
平行于xoy面的平面z?h和曲面f(x,y,z)?0的交线为??f(x,y,h)?0
z?h??f(x,h,z)?0平行于xoz面的平面y?h和曲面f(x,y,z)?0的交线为?
y?h?平行于yoz面的平面x?h和曲面f(x,y,z)?0的交线为?例求曲面和三个坐标面的交线 （1）x?y?16z?64
222?f(h,y,z)?0
?x?h?x2?y2?64?x2?16z2?64?y2?16z2?64解：?、?、?
?z?0?y?0?x?0（2）x2?4y2?16z2?64 解：注意在yoz面上无交线 （3）x?9y?10z 解：在xoy面上交于一点(0,0)
1、求点在平面上的投影、求点到平面的距离、求关于平面的对称点 方法：（1）过点作直线垂直于平面，该直线的方向向量为平面的法向量
（2）求直线和平面的交点，该交点为点在平面上的投影 例5（1）求点A(3,1,?1)在平面3x?y?z?20?0上的投影
（2）求点A(1,2,?5)到平面x?y?z?10?0的距离，并求该点关于平面的对称点坐标
22五、求投影
?3x?2y?2?0（1）求过直线?且与点M(1,2,1)的距离为1的平面方程
x?2y?z?6?0?
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2、求点在直线上的投影、求点到直线的距离、求关于直线的对称点 方法：（1）过点作平面垂直于直线，该平面的法向量为直线的方向向量
（2）求直线和平面的交点，该交点为点在直线上的投影 例6（1）求点A(1,?1,0)到直线
x?2y?1z?1??的距离，该点在直线上的投影 201?2y?3z?3?0（2）求点M(1,?1,0)到直线?的距离
x?y?0?3、直线在平面上的投影
方法：（1）过直线作平面和已知平面垂直，该平面的法向量为直线的方向向量和已知平面法向量的外积
（2）联立两个平面方程所得直线为该直线在平面上的投影 例7（1）求直线??2x?4y?z?0在平面4x?y?z?1?0上的投影直线的方程
?3x?y?2z?9?0?4x?5z?3?0?4y?7z?5，在xoz面上的投影为?，求
y?0x?0??（2）直线在yoz面上的投影为?直线在xoy面上的投影
?f(x,y,z)?04、曲线?在坐标面上的投影柱面及投影
g(x,y,z)?0??h1(x,y)?0方法：（1）消去z得h1(x,y)?0，则?为曲线在xoy面上的投影
z?0?（2）消去x得h2(y,z)?0，则??h2(y,z)?0为曲线在yoz面上的投影
?x?0?h3(x,z)?0（3）消去y得h3(x,z)?0，则?为曲线在xoz面上的投影
y?0?222例（1）求球面x?y?z?9与平面x?z?1的交线在xoy面上的投影柱面及投影 22??2y?z?4x?4z（2）把曲线?2的方程用母线平行于x轴和z轴的两个投影柱面方程表2??y?3z?8x?12z示
解：消去x得母线平行于x轴的投影柱面方程y?z?4z；消去z得母线平行于z轴的
22??y?z?4z投影柱面方程y?4x?0，因此曲线可表示为?2
??y?4x?0222五、求平面方程
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?A1x?B1y?C1z?D1?01、过直线?的平面方程可设为
Ax?By?Cz?D?0222?2(A1x?B1y?C1z?D1)??(A2x?B2y?C2z?D2)?0
如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理 例（1）在过直线??x?y?z?4?0的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。
?x?2y?z?00（2）平面过OZ轴，且与平面y?z?0的夹角为60，求该平面方程
（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角） （3）求过点M(1,0,?1)和直线
x?2y?1z?1??的平面方程 201（4）过直线??x?2z?4?0?x?y?4?0作平面，使它平行于直线?
?3y?z?8?0?y?z?6?0 (5)过平面2x?y?0和4x?2y?3z?6的交线作切于球面x2?y2?z2?4的平面 （6）求由平面2x?z?12?0,x?3y?17?0所构成的两面角的平分面方程 2、利用点法式求平面方程
注意：（1）任何垂直于平面的向量n均可作为平面的法向量
（2）和平面Ax?By?Cz?D?0平行的平面可设为Ax?By?Cz?D1?0
（3）如存在两个向量a?(a1,a2,a3)、b?(b1,b2,b3)和平面平行（或在平面内），则平
???i面的法向量为n?a?b?a1????ja2b2?ka3 b3?b1例（1）已知两直线为方程
x?1y?1z?1x?3y?1z?2????，，求过两直线的平面11?11?12（2）求过A(8,?3,1)和B(4,7,2)两点，且垂直于平面3x?5y?z?21?0的平面
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