(3?4log2x)(3?log2x)?k?log2x
令t?log2x，因为x??1,4?，所以t?log2x??0,2?
所以(3?4t)(3?t)?k?t对一切的t??0,2?恒成立???????8分 ① 当t?0时，k?R；???????9分
(3?4t)(3?t)9恒成立，即k?4t??15???????11分
tt993因为4t??12，当且仅当4t?，即t?时取等号???????12分
tt29所以4t??15的最小值为?3???????13分
t综上，k????,?3????????14分
② 当t??0,2?时，k?
2222．解：（1）设F2,M的坐标分别为(1?b,0),(1?b,y0)-------------------1分
y02 因为点M在双曲线C上，所以1?b?2?1，即y0??b2，所以MF2?b2------------2
b2分
0在Rt?MF2F1中，?MF1F2?30，MF2?b，所以MF1?2b------------3分
22由双曲线的定义可知：MF1?MF2?b?2
2y2?1-------------------4分 故双曲线C的方程为：x?22（2）由条件可知：两条渐近线分别为l1:2x?y?0;l2:2x?y?0-------------------5分 设双曲线C上的点Q(x0,y0)，
则点Q到两条渐近线的距离分别为d1?2x0?y032x02?y023,d2?2x0?y03-------------------7分
所以d1?d2?2x0?y03?2x0?y032?-------------------8分
y2?1上，所以2x02?y02?2-------------------9分 因为Q(x0,y0)在双曲线C：x?2故d1?d2?2x02?y023?2-------------------10分 322 （3）解一：因为P(x0,y0)为圆O：x?y?2上任意一点，设
x0?2cos?,y0?2sin?
所以切线l的方程为：xcos??ysin??2-------------------12分 代入双曲线C：2x2?y2?2?(xcos??ysin?)2
1?sin两边除以x，得(22?)()y2y2s?incos?()?cos?220???-------------------13分 xx设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
y1y2,是上述方程的两个根 x1x2y1y2cos2??2由韦达定理知：???1，即x1x2?y1y2?0-------------------15分
x1x2sin2??1????????所以OA?OB?x1x2?y1y2?0-------------------16分
解二：设A(x1,y1),B(x2,y2)，切线l的方程为：x0x?y0y?2-------------------12分 ①当y0?0时，切线l的方程代入双曲线C中，化简得：
(2y02?x02)x2?4x0x?(2y02?4)?0
4x0(2y02?4)所以：x1?x2??-------------------13分 ,x1x2??2222(2y0?x0)(2y0?x0)(2?x0x1)(2?x0x2)8?2x0212又y1y2???2?4?2x0(x1?x2)?x0x1x2???2y2?x2 y0y0y0?00????????(2y02?4)8?2x024?2(x02?y02) 所以OA?OB?x1x2?y1y2?????0-----------15222222(2y0?x0)2y0?x02y0?x0分
②当y0?0时，易知上述结论也成立。
????????所以OA?OB?x1x2?y1y2?0-------------------16分
23．解：（1）因为数列：1,2,4,m(m?4)是“兑换系数”为a的“兑换数列”
所以a?m,a?4,a?2,a?1也是该数列的项，且a?m?a?4?a?2?a?1----------1分 故a?m?1,a?4?2-------------------3分
即a?6,m?5。 -------------------4分 （2）不妨设有穷数列?bn?的项数为n
因为有穷数列?bn?是“兑换系数”为a的“兑换数列”， 所以a?bn,a?bn?1,?,a?b1也是该数列的项，-------------------5分 又因为数列?bn?是递增数列
b1?b2???bn,且a?bn?a?bn?1???a?b1-------------------6分
则bi?bn?1?i?a(1?i?n)-------------------8分 故Sn?b1?b2???bn?na-------------------10分 2（3）数列?cn?是“兑换数列”。证明如下：
设数列?cn?的公差为d，因为数列?cn?是项数为n0项的有穷等差数列
若c1?c2?c3???cn0，则a?c1?a?c2?a?c3???a?cn0 即对数列?cn?中的任意一项ci(1?i?n0)
a?ci?c1?(n0?i)d?cn0?1?i??cn?-------------------12分
同理可得：若c1?c2?c3???cn0，a?ci?c1?(n0?i)d?cn0?1?i??cn?也成立， 由“兑换数列”的定义可知，数列?cn?是 “兑换数列”；-------------------14分 又因为数列?bn?所有项之和是B，所以B?分
(c1?cn0)?n02?a?n02B，即a?-------------------182n0