振动和波作业参考解答 姓名 序号
练习十
1. 已知一个谐振子的振动曲线如图所示。 （1）求和a，b，c，d，e各状态相应的相； （2）写出振动表达式；（3）画出相量图。 解：（1）由参考圆可得，各点对应的相位
xa?A，?a?0；
5.02.5O?2.5x/cmabcd?5.0ec2.2t/sxb?Aπ，?b?； 23πxc?0，?c?；
2A2πxd??，?d?；
23A4πxe??，?e?
23dbOaxt?0e2.2s（2）由参考圆可知t?0时，???π3π；t?2.2s时，??，则 32??11π15π?=???
?t62.265ππt? )振动的表达式为 x?0.05cos(63Ox?A?????3（3）相量图如右图所示
?2. 作简谐运动的小球，速度最大值为vm=3cm/s，振幅A＝2cm，若从速度为正的最大值的某时刻开始计算时间。
（1）求振动的周期；（2）求加速度的最大值；（3）写出振动表达式。 解：(1)由vm??A?2πA/T，可得
T?2πA2?π?0.02??4.2s vm0.032（2）am??2A?vm/A?0.032/0.02?4.5?10?2m/s2
（3）由于t?0时，v??vm，可知???vπ?1，而??m?0.03/0.02?1.5s，所以有 2Ax?Acos(?t??)?0.02cos(1.5t?π/2)
3. 一质量为10g的物体作简谐运动，其振幅为24cm，周期为4s，当t＝0时，位移为＋24cm。求：（1）t＝0.5s时，物体所在位置和物体所受的力； （2）由起始位置运动到x＝12cm处所需最少时间。 解： 由题给条件可以知道??0，于是有
x?Acos(2ππt??)?0.24cost T229
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π?0.5)?0.17m，2πF?ma??m?2x??10?10?3?()2?0.17??4.2?10?3N
2（2）x?0.12m时，物体的相的最小值为arccos(1/2)?π/3，
（1）t?0.5s时，x?0.24cos(由
4. 两个谐振子作同频率、同振幅的简谐运动。第一个振子的振动表达式为x1?Acos(?t??)， （1） 当第一个振子从振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方向位移的端点。求第
二个振子的振动表达式和二者的相差；
（2） 若t＝0时，x1＝－A/2，并向x负方向运动，画出二者的x－t曲线及相量图。 解：（1）第一谐振子的相为π/2时，第二谐振子的相为零，于是
ππ2tmin?， 可得tmin?s 233?2??1?0?
π2?2??1?ππ??? 22第二谐振子的振动表达式为
πx2?Acos(?t??2)?Acos(?t???)
2x Ax （2）由t?0时，x1? 且v?0
2A 2πω A可知 ??。则 2 π/6 32π O O x1?Acos(?t?) 3πx2?Acos(?t?)
6-A 两谐振子的x－t曲线和相量图如右图所示。
x1 x2 t 5. 一弹簧振子，弹簧劲度系数为k＝25N/m，当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，试回答： （1）振幅是多大？
（2）位移是多大时，势能和动能相等？ （3）位移是振幅的一半时，势能多大？ 解：（1）A?2E/k?2(Ek?Ep)/k?2?(0.2?0.6)/25?0.25m
（2）Ep?Ek时，Ep? x??12E12kx??kA 22222A???0.25??0.18m 22 30
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(3) Ep?
1A21121k()?(kA)?(0.2?0.6)?0.2J 224246. 有一轻弹簧，下面挂一质量为10g的物体时，伸长量为4.9cm。用此弹簧和一质量为80g的小球构成一弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后，给予向上的初速度v0＝5.0cm/s。试求振动的周期及振动表达式。 解：由平衡条件m1g?kx1，可得
k?m1g/x1?0.01?9.8/(4.9?10?2)?2.0N/m
此弹簧阵子的周期为 T?2πm2/k?2π0.08/2.0?1.26s
以竖直向下为x轴，并以平衡位置为原点，则x0?0.01m，v0??0.05m/s，
0.052?2由此可得 A?x?2?0.01??2?10m 2?（5.0）v?0.05π5π ?0?arctan(?0)?arctan(?)?,?x05.0?0.01442022v0由x0?0，v0?0，取?0?π。于是有 4πx?2?10?2cos(5t?)
4
7. 一物体放在水平木板上，物体与板面间的最大静摩擦系数为0.50。
（1）当此板沿水平方向作频率为2.0Hz的简谐运动时，要使物体在板上不致滑动，振幅的最大值应是多大？
（2）若令此板改作竖直方向的简谐运动，振幅为5.0cm，要使物体一直保持与板面接触，则振动的最大频率是多少？
解：（1）物体不沿板滑动，要求
?smg?mam?mA?2?mA(2π?)2
A??sg/(2π?)2＝0.50?9.8/(2π?2.0)2?3.1?10?2m
(2) 物体总与板保持接触，要求mg?mam?mA(2π?)2
??
12πg1?A2?9.8?2.2Hz 0.05 31
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练习十一
1． 一单摆在空气中摆动，摆长为1.00cm，初始振幅为θ0＝5。经过100s，振幅减为 θ1＝4。再经过多长时间，它的振幅减为θ2＝2。此单摆的阻尼系数多大？Q值多大？ 解：由?1??0e??t，得阻尼系数为
o
o
o
??ln?05/t?ln/100?2.2?10?3s?1 ?14又?2??1e???t，所以从?1到?2经过的时间为
?t?ln?14/??ln/(2.2?10?3)?311s ?22g1?l2?g19.8??712 l2?2.2?10?31.00O Q?
?ππ??2??T2π?2． 一质量为m的刚体在重力力矩的作用下绕固定的水平轴O作小幅度无阻尼自由摆动，如图所示。设刚体质心C到轴线O的距离为b，刚体对轴线O的转动惯量为I。试用转动定律写出此刚体绕轴O的动力学方程，并
b θ C 证明OC与竖直线的夹角θ的变化为简谐运动，而且振动周期为 T?2πI mgb解：如图所示，刚体所受的对轴线的力矩为?mgbsin?，于是由转动定律可得
d2???mgbsin? Idt2d2?mgb???0 对小幅度的振动，sin???，则有： 2dtI所求振动周期为： T?
3． 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐运动，其表达式为?试写出合振动的表达式。 解：A?2A12?A2?2A1A2cos(?2??1)
2???2?I mgb?π/6)?x1?0.04cos(2t ?π/6)?x2?0.03cos(2t?0.042?0.032?2?0.04?0.03cos(?ππ?)?0.06m 66??arctanA1sin?1?A2sin?20.04sin(π/6)?0.03sin(?π/6)?arctan?0.08
A1cos?1?A2cos?20.04cos(π/6)?0.03cos(?π/6)x?Acos(?t??)?0.06cos(2t?0.08)
合振动的表达式为：
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4． 日光灯电路中的灯管相当于一个电阻R，镇流器是一个电感L，二者串联。若灯管两端电压和镇
u1?902cos100πt(V)流器两端电压分别为：
解：总电压u为u1和u2的合成，?1?0,?2?π/2 U?22Ucos?(??1?U2?2U1U22?1)2U?12U?22(90?2)2(20?02)，试求总电压u的表达式。 πu2?2002cos(100πt?)(V)2 310(V)??arctanU2200?arctan?0.37π U190u?Ucos(?t??)?310cos(100πt?0.37π)V
ππx?0.06cos(t?)?335． 质量为0.1kg的质点同时参与互相垂直的两个振动：?，试写出质点运动
ππ?y?0.03cos(t?)33的轨迹方程，画出图形，并指明是左旋还是右旋。 解：????x??y?ππ2π?(?)?。由垂直振动的合成轨迹标准方程 333x2y2xy2??2cos???sin? 22ABAB将相关数值带入化简可得所求轨迹方程为
x2?2xy?4y2?2.7?10?3
由于???0，所以合运动是左旋的，轨迹如下图所示：
y （-0.03，0.03） （0，0.026） （-0.06，0.015） -0.06 （-0.052，0） 0.06 0.03 O （0.052，0） （0.06，-0.015） x （0，-0.026） -0.03 （0.03，-0.03）
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