第十讲 对数函数
知识归纳和梳理：
反函数的定义：一般地，对于函数y?f(x)，设它的定义域为D，值域为A。如果对于A中的任意一个值y，在D中
总有惟一确定的
x值与它对应，使y?f(x)，这样得到x关于y的函数叫函数y?f(x)的反函数。
记作x?f?1(y)(y?A)。习惯上，把它改写为y?f?1(x)(x?A)。
反函数的性质：反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。 反函数与原函数的图像关系：关于直线y=x对称。 对数函数的定义： 函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数；它是指数函数y?ax (a?0且a?1)的反函数。 对数函数y?logax (a?0且a?1)的定义域为(0,??)，值域为(??,??)。 4y=log2x2y=log5x5101520y=log1x224 对数函数的图像和性质 6 a>1 01时，y>0; 0
底数的大小和图像的关系：
规律一：当a>1时，底数越大，图像越靠近x轴
yC3C2当0
C4C1规律二：在第一象限内，底数越大，图像越靠右（顺时针靠后） x
【典型例题】： 例1.已知f(x?1)?2x ，求y?f(x)的反函数f?1x?1(x) 的表达式
例2.设f(x)?2x?3x?1，函数g(x)?f?1(x?1)的图象与h(x)的图象关于直线y?x对称， 则h(3)的值为 （ ）
A．
72 B．3 C．5 D．112
经典练,1,2
1.已知函数
f(x)的定义域是???,0?，f(x?1)?x2?2x，求y?f?1(x)
2. f(x?1)?12x?x2(x?0) ,
f?1(?13)?f(?2) 的值为_________.
2
例3.函数y?log1(3x?2)的定义域是（ ）
2A．[1,??) B．(2,??) C．[2,1] D．(2333,1]
经典练习3：求下列函数的定义域
(1)y=
1log (2)y=log127 (3)y?1?log3(x?22x1?3xx)
例4. 比较下列各组数中两个值的大小： (1)log0.31.8,log0.32.7； (2)loga5.1,loga5.9(a?0,a?1)
(3)log67,log6； (4)log11731.2,log20.8 (5)log2.13,log2.33
经典练习4：1.比较下列各组中各数的大小
?1⑴log7,loglog?1?20.30.0.40.7 ⑵3.40.7,log0.60.8,??3?? ⑶log0.30.1log0.20.3
3
2.若a2>b>a>1,试比较logaab,logbba,logba,logab的大小.
例5. 设函数f(x)?log2x?b12x?b(b?0).
2(1) 求函数f(x)的定义域；
(2) 判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3) 指出f(x)在区间(b2,??)上的单调性，并予以证明.
例6.求函数y?log1(?x2?2x?3)的定义域、值域和单调区间
2
经典练习5，6：
1.函数f(x)?log0.5(2x2?3x?1)的递减区间为 （ ）A （1，＋?） B （－?，314） C （2，＋?）
D （－?，12）4
2.已知函数f(x)?1x?log1?x21?x,求函数的定义域，并判断它的奇偶性和单调性。
【巩固练习】： 一、基础训练题：
1.已知函数y?6x?5x?1(x?R且x?1)，那么它的反函数为( ) A、y?6x?5x?1?x?R且x?1? B、y?x?5x?6?x?R且x?6? C、y?x?1?x?66x?5??x?R且x??5?6?? D、y?x?5?x?R且x??5? 2.函数y?logx2x?1(x?1)的反函数是（ ）
A．y?2x2x?1(x?0) B．y?2x2?1?0)C．y?2x?12x?1x(x2x(x?0) D．y?2x(x?0)3．设f?1(x)是函数f(x)?12(2x?2?x)的反函数，则f?1(x)＞1的解集为 （ ） A．(34，??) B．(??，334) C．(4，2) D．（2，＋∞） 4.（1）y?lgx?lg(5?3x)的定义域为____ ___； 5.已知a?log0.70.8,b?log.71.10.8,c?1.10，则a,b,c的大小关系是（ ）
（A）a?b?c （B）b?a?c （C）c?a?b （D）b?c?a 6.下列不等式中，不能成立的是 ( )
A log10.2＜1 B log12＞log714313 C log5
2332＜log1 D log2＞log23734
5