2018届湖南省高三·十四校联考 第二次考试数学（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 复数 A.
（为虚数单位）的共轭复数为（ ）
B.
C.
D.
3. 下列有关命题的说法中错误的是（ ）
A. 设 ，则“ ”是“ ”的充要条件 B. 若 为真命题，则 ， 中至少有一个为真命题
C. 命题：“若 是幂函数，则 的图象不经过第四象限”的否命题是假命题
D. 命题“ ， 且 ”的否定形式是“ ， 且 ” 4. 已知不等式
的解集为 ，则二项式
展开式的常数项是（ ）
A. B. C. D. 5. 若函数 的单调递增区间是（ ） A. C.
的最小值是， ， ，且 ，则
B.
D.
6. 某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的表面积（单位： ）是（ ）
A. B. C. D.
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7. 甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借 、 、 、 四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅 类课外书，则不同的借阅方案种类为（ ） A. B. C. D.
8. 如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
9. 一个算法的程序框图如下，则其输出结果是（ ）
A. B. C. D.
则 的最小值为10. 已知点 ， ， 满足 点 的坐标 ，，（ ）
A.
B. C. D.
，则11. 过圆 ： 的圆心 的直线与抛物线 ： 相交于 ， 两点，且
点 到圆 上任意一点的距离的最大值为（ ） A. B. C. D.
12. 设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D.
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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题后后的横线上.
， ， ，则向量 满足 在向量上的投影为__________． 13. 已知向量， 14. 已知 是数列 的前 项和，且 ，则数列 的通项公式为__________． 15. 三棱锥 的底面 是等腰三角形， ，侧面 是等边三角形且与底面 垂直， ，则该三棱锥的外接球表面积为__________．
16. 已知 是以 为周期的 上的奇函数，当 ， ，若在区间 ，关于 的方程 恰好有 个不同的解，则 的取值范围是__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知锐角 的内角 ， ， 所对的边分别为， ，，且 ，（1）求角 的大小； （2）求 的取值范围.
18. 如图， ，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，已知 ， 于 .
.
（1）求证： ；
（2）若平面 平面 ，且 ，求二面角 的余弦值.
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19. 随着电子产品的不断更新完善，更多的电子产品逐步走入大家的世界，给大家带来了丰富多彩的生活，但也带来了一些负面的影响，某公司随即抽取 人对某电子产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的 人中的年龄层次以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示： 认为某电子产品对生活有益 认为某电子产品对生活无益 总计
（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过 的前提下，认为电子产品的态度与年龄有关系？ （2）为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员进行抽奖活动，奖金额以及发放的概率如下： 奖金额 概率
现在甲、乙两人参与了抽奖活动，记两人获得的奖金总金额为 ，求 的分布列和数学期望. 参与公式： 临界值表：
岁以下 岁或 岁以上 总计 元（谢谢支持） 元 元 4
20. 已知椭圆 ： .
（1）若椭圆的离心率为 ，且过右焦点垂直于长轴的弦长为 ，求椭圆 的标准方程；
（2）点 为椭圆长轴上的一个动点，过点 作斜率为 的直线交椭圆 于 ， 两点，试判断 是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因.
21. 已知函数 . （1）求函数 的单调区间；
（2）设函数 ， ， 为自然对数的底数.当 时，若 ， ，不等式 成立，求 的最大值.
22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （为参数），若以该直角坐标系的原点 为
极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为： （其中为常数）.
（1）若曲线 与曲线 有两个不同的公共点，求的取值范围； （2）当 时，求曲线 上的点与曲线 上点的最小距离.
23. 已知函数 ， . （1）求 的解集；
（2）若 有两个不同的解，求的取值范围.
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