六、（ 24分）物理小组的同学在寒冷的冬天做了一个这样的实验：他们把一个实心的大铝球加热到某温度t，然后把它放在结冰的湖面上（冰层足够厚），铝球便逐渐陷入冰内．当铝球不再下陷时，测出球的最低点陷入冰中的深度h．将铝球加热到不同的温度，重复上述实验8次，最终得到如下数据：
实验顺序数 热铝球的温度 t /℃ 陷入深度 h /cm 1 55 9.0 2 70 12.9 3 85 14.8 4 92 16.0 5 104 17.0 6 110 18.0 7 120 17.0 8 140 16.8 已知铝的密度约为水的密度的3倍，设实验时的环境温度及湖面冰的温度均为 0℃．已知此情况下，冰的熔解热??3.34?105J/kg．
1．试采用以上某些数据估算铝的比热c．
2．对未被你采用的实验数据，试说明不采用的原因，并作出解释．
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七、（ 25分）如图预18－7所示，在半径为a的圆柱空间中（图中圆为其横截面）充满磁感应强度大小为B的均匀磁场，其方向平行于轴线远离读者．在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放置一绝缘材料制成的边长为L?1.6a的刚性等边三角形框架?DEF，其中心O位于圆柱的轴线上．DE边上S点（DS?L）4处有一发射带电粒子的源，发射粒子的方向皆在图预18-7中截面内且垂直于DE边向下．发射粒子的电量皆为q（＞0），质量皆为m，但速度v有各种不同的数值．若这些粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹
1性碰撞，并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边．试问：
1．带电粒子速度v的大小取哪些数值时可使S点发出的粒子最终又回到S点？ 2. 这些粒子中，回到S点所用的最短时间是多少？
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第十八届全国中学生物理竞赛预赛试题参考解答、评分标准
一、参考解答
杆的端点A点绕O点作圆周运动，其速度vA的方向与杆OA垂直，在所考察时其大小为 vA??R （1） 对速度vA作如图预解18-1所示的正交分解，沿绳BA的分量就是物块M是速率vM，则 vM?vAcos? （2） 由正弦定理知 由图看出 ?OAB?由以上各式得
vM??Hsin? （5） 评分标准：本题15分 其中（1）式3分；（2）式5分；（5）式7分。
二、参考解答
带电质点在竖直方向做匀减速运动，加速度的大小为g；在水平方向因受电场力作用而做匀加速直线运动，设加速度为a。若质点从M到N经历的时间为t，则有
vx?at?v0 （1） vy?v0?gt?0 （2） 由以上两式得
a?g （3） t?v0gsin?OABH?sin?R （3）
?2?? （4）
（4）
M、N两点间的水平距离
x?12at?22v02g （5）
于是M、N两点间的电势差 UMN?
Udx?2Uv02dg （6）
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评分标准：本题15分
（1）、（2）式各3分；（3）、（4）式各2分；（5）式3分；（6）式2分。
三、参考解答
1．先求凸球面的曲率半径R。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于F点，如图预解18-3-1所示。C点为球面的球心，CO?R，由正弦定理，可得
R?fR?sinrsin(r?i) （1）
由折射定律知
（2）
sinrn当i、sin(r?i)?r?i，sinr?r，sini?i，r很小时，
?sini1由以上两式得 1?fR?rr?i?nn?1?1?1n?1 （3）
所以
R?(n?1)f （4） 2. 凸面镀银后将成为半径为R的凹面镜，如图预解18-3-2所示 令P表示物所在位置，P点经平面折射成像P?，根据折射定律可推出
P?O?nPO （5）
由于这是一个薄透镜，P?与凹面镜的距离可认为等于P?O，设反射后成像于P??，则由球面镜成像公式可得
1P??O?1P?O?2R （6）
由此可解得P??O?36cm，可知P??位于平面的左方，对平面折射来说，P??是一个虚物，经平面折射后，成实像于P???点。
P???OP??O?1n （7）
所以 P???O?24 cm （8）
最后所成实像在透镜左方24 cm处。 评分标准：本题18分 （1）、（2）式各2分；（3）或（4）式2分；（5）式2分；（6）式3分；（7）式4分；（8）式3分。
四、参考解答
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设中子和碳核的质量分别为m和M，碰撞前中子的速度为v0，碰撞后中子和碳核的速度分别为v和v?，因为碰撞是弹性碰撞，所以在碰撞前后，动量和机械能均守恒，又因v0、v和v?沿同一直线，故有
mv0?mv?Mv? （1） 解上两式得
v?因M?12m 代入（3）式得 v??1113v0 （4） m?Mm?Mv0 （3）
122mv0?12mv2?12Mv?2 （2）
负号表示v的方向与v0方向相反，即与碳核碰撞后中子被反弹．因此，经过一次碰撞后中子的能量为 ?11?2 E1?mv2?m???v0
22?13?112于是
?11? E1???E0 （5）
?13?2经过2，3，…，n次碰撞后，中子的能量依次为E2，E3，E4，…，En，有 ?11??11? E2???E1???E0
?13??13??11? E3???E0
?13?624 ……
?E??11? En??1?E0????13??E0?n2nE0 （6）
因此 n?1lg(En/E0)2lg(11/13)0.0251.75?106 （7）
已知 代入（7）式即得
EnE0??17?10－7
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