上海大学1997年度攻读硕士学位研究生
入学考试试题
1. 计算下列极限：
2n?1?3n?1（1）limnn
n???2?3（2）lim(1?x??23x?) xx21?cosx2（3）lim2
x?0xsinx22. 研究函数f(x)?limxn?22?x2n2nn???,(x?0)的连续性.若有间断点，讨论是何种间断点.
3. 求下列函数的导数或偏导数： （1）y?ax?xa?xx?aa a?0 求（2）y?1?lnx1?x2dy. dx 求
dy. dx(,,)yyxz?(,,)zzxy(,?)（3）设x?xyz为由方程F(x,y,z)?0所定义的函数，求
?x?y?z,,. ?y?z?x4. 求下列积分： （1）?lnxdx.
x1?lnx233（2）?x5(1?2x)dx.
3f?(x)(x?1)2(x?1)（3）设f(x)?，求. 23??11?f(x)x(x?2)5. 设f(x)在[0,1]上连续，求证：?xf(sinx)dx?0??2?0?f(sinx)dx，并计算??0xsinxdx.
1?cos2x6. 证明下列函数项级数在所给区间内一致收敛. （1）?（2）??x ???x??? 421?nxn?1sinxsinnx 0?x?2n
n?xn?1? 1
(?1)n?17. 将函数f(x)?x展成余弦级数，并计算?. 2nn?12?8. 利用交换积分顺序的方法计算I??10xb?xadx a?0,b?0. lnx9. 设?AB为连接A(1,?)和B(2,3)的某一曲线，又设?AB与直线AB包围的面积为k，计算
y1dx?(x?)dy. 2?xx?AB10. 证明题：
（1） 有数列{xn}，若limxn?a，求证：limn???x1?x2???xn?a.
n???n（2） 设函数f(x)在开区间(a,b)上连续，且f(a?0)和f(b?0)均存在，求证：f(x)在开区间(a,b)上有界.
上海大学1998年度攻读硕士学位研究生
入学考试试题
1?1. 已知x1???0,xn?(xn?1?) n?2,3,?，证明：数列{xn}存在极限，并求之.
2xn?12. 已知?an收敛(an?0)，证明：?n?1??n?1an也收敛. n3. 把f(x)?x在[??,?]上展成Fourier级数.
1???xsin4. 设f(x)??x??0x?0x?0 (??1)，求f(x)在x?0处的左、右导数f??(0)和f??(0).
b5. 设f(x)在[a,b]上非负连续，且不恒等于零，求证：?f(x)dx?0.
a1?11?6. 验证开区间集?但它的任意有限个开集都不能覆盖(0,). ,?覆盖了开区间(0,2)，
2?n?2n?7. 已知f(x)在(0,a)内可导，f(0)?0，f?(x)在(0,a)内单调增加，证明：内单调增加. 8. 求极限lim?x?0f(x)也在(0,a)xx?b??x?b与，其中[]为取整数，a?0,b?0. lim?????x?0a?x??a?x2
9. 利用极坐标计算二重积分??x2?y2dxdy，其中D由y?2x?x2和y?x围成.
D10. 如果对于任何数列{xn}，limxn???都有limf(xn)?A，那么一定有limf(x)?A.
n??n??x???上海大学1999年度攻读硕士学位研究生
入学考试试题
?1,x为有理数1. 设f(x)?x?D(x)，其中?为实数，D(x)??，讨论?为何值，在点x?0处，
?0,x为无理数（1）f(x)连续；（2）f(x)可导.
2. 叙述并证明：limf(x)存在且有限的充要条件（柯西收敛原理）.
x???3. 求柱面x2?y2?x含在球面x2?y2?z2?1内的面积.
4. 已知平面曲线y?f(x)在曲线上的点(x,y)处的切线斜率k?max(1,x)，并且此曲线经过点(0,0)，求此曲线方程. 5. 求?e?xdx.
0??26. p?0,q?0，讨论级数
1?11111???????? 2q3p4q(2n?1)p(2n)q的绝对收敛、条件收敛及发散性.
7. 证明级数?x(1?x)在[0,1]上一致收敛，并且?xn(1?x)2n?n2nn?1n?1?x(2??x)18. 在[0,2?]上展开f(x)?为傅立叶级数，并求?2.
4n?1n??2. 11上海大学2000年度攻读硕士学位研究生
入学考试试题
1. 设yn?x1?2x2???nxna，若limxn?a，证明：（1）当a为有限数时，limyn?；（2）
n??n??2n(n?1)n??当a???时，limyn???.
ni()fx1?? 2. 设f(x)在[0,1]上有二阶导数（端点分别指左、右导数），f(0)?f(1)?0，且m]1,0[ 3
，证明：maxf??(x)?8.
[0,1]?1p?,当x=q(q?0,p,q互质整数)3. 证明：Riemann函数R(x)??q 在[0,1]上可积.
?0,当x为无理数?4. 证明：lim??t?0tf(x)dx??f(0)，其中f(x)在[?1,1]上连续.
?1t2?x21n??15. 设an?ln(1?(?1)p)，讨论级数?an的收敛性.
nn?2??6. 设???0f(x)dx收敛且f(x)在[0,??]上单调，证明：limh?f(nh)???h?0n?1??0f(x)dx.
x2y27. 计算曲面x?y?z?a包含在曲面2?2?1 (0?b?a)内的那部分的面积.
ab22228. 将函数f(x)?x在[0,2?]上展成Fourier级数，并计算级数?sink的值. kk?1??上海大学2001年度攻读硕士学位研究生
入学考试试题
1. 计算下列极限、导数和积分：
（1） 计算极限lim?(x)；
x?01x（2） 计算?(x)??x20(t?1)?t,. f(t)dt的导函数??(x)，其中f(t)??2t?1,(t?1)??11?I?dx. arctan(2tanx)???（3） 已知?，求积分2?01?sin2x??sinx2（4） 计算f(t)?式）.
x2?y2?z2?t2???(xyz)2dxdydz (t?0)的导数f?(t)（只需写出f?(t)的积分表达
2. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导.若f(a)f(b)?0且f(a?b)?0，试证明必存在2??(a,b)使得f?(?)?0. 3. 令F(x,y)?y?xey?1
111311（1） 证明：F(x,)?0,x?(?,)；F(x,)?0,x?[?,].
2121221212
4
（2） 证明：对任意的x?(?y(x).
1113,)，方程F(x,y)?0在y?(,)中存在唯一的解121222（3） 计算y?(0)和y??(0). 4. 一致连续和一致收敛性
（1） 函数f(x)?x3在[0,1]上是一致连续的，对??10?2，试确定??0，使得当
0?x1?x2?1且x1?x2??时有x13?x23?10?2.
n2x2?1,x?[0,1],n?1,2,?，证明：fn(x)在[0,1]上是内闭一致收敛的，（2） 设fn(x)?32?nx但不是一致收敛的.
5. 曲线积分、格林公式和原函数
（1） 计算第二型曲线积分I?12?xdy?ydx??(L)x2?y2，其中L是逐段光滑的简单闭曲线，原
点属于L围成的内部区域，(L)的定向是逆时针方向. （2） 设p(x,y),q(x,y)除原点外是连续的，且有连续的偏导数.若
?a?
?p?q?,(x,y)?(0,0) ?y?x?b?
?x?cost， (0?t?2?) ??(L)pdx?qdy?c?0 其中(L)的参数方程是?y?sint?证明：存在连续可微函数F(x,y),(x,y)?(0,0)，使得
?Fcy?Fcx?p(x,y)?,?q(x,y)? ?x2?x2?y2?y2?x2?y2上海大学2002年度攻读硕士学位研究生
入学考试试题
1. 求?和?使得当x???时，无穷小量x?1?x?1?2x等价于无穷小量?x?. 2. 求椭圆Ax2?2Bxy?Cy2?1所围成的面积S，其中A?0,AC?B2?0,A,B,C均为常数.
a0?3. 试给出三角级数??(ancosnx?bnsinnx)中系数的计算公式（不必求出具体值），使
2n?1
5