得该级数在[0,1]一致收敛到x2，并说明理论依据.
x?e?sinx,当x??时4. 证明：f(x)??，函数在(??,??)上一致收敛.
??x??,当x??时5. 设f(x)在[0,1]上有连续的导函数f?(x)，f(0)?0，证明：?f2(x)dx?01112f?(x)dx. ?026. 证明：当x?1,y?1时有不等式：(x2?y2)2?2?y2?x2.
7. 设f(x)在(a,b)上连续，并且一对一（即当x1,x2?(a,b)，且x1?x2时有f(x1)?f(x2)），证明：f(x)在(a,b)上严格单调.
上海大学2003年度攻读硕士学位研究生
入学考试试题
1. 证明和计算：
（1） 对于任意a?0，证明：limna存在，并求之.
n???1n?（2） 设xn?a?1?k,(??0,n?1,2,?)，证明：limxn存在并求之.
n???nk?12. 判别下列结论是否正确，正确者请证明，错误者也请证明或给出反例：
（3） 存在级数?un使得当n???时， un不趋于0，但?un收敛.
n?1n?1????（4） ?sin2xdx是收敛的.
0??（5） lim?e?xsinnxdx?0（此题只需指明理论依据）.
n????1123. 计算：
（6） ??Sxdydz?ydzdx?zdxdy22S，其中为曲面：1?z?x?y,(z?0)的上侧. 22232(x?y?z)1. 2k?1k??（7） 将把f(x)?x在[??,?]上展成Fourier级数，并由此计算?4. 证明：
（8） 设函数f(x,y)?xy，证明：它在(0,0)连续且有偏导数fx(0,0),fy(0,0)，但是
f(x,y)在(0,0)不可微.
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（9） 设函数f(x)在[0,1]上Riemann可积，证明：f2(x)在[0,1]上也是Riemann可积. （10）当x?0时，证明：ln(1?x)1x?1.
（11）设函数f?(x)在[0,a]上连续，其中a?0.证明：
f(0)?a1af(x)dx??0f?(x)dx a?0yzx（12）设函数F(u,v,w)有连续的偏导数，证明曲面F(,,)?0上各点的切平面都交
xyx于一点，并求出交点坐标.
2（13）设闭曲线L:Ax2?2Bxy?Cy2?1，其中A?0,AC?B均为常数.记?0,A,B,C(x1,y1)和(x2,y2)分别表示曲线的最高点和最低点，证明：y1y2?0.
（14）如果函数列fn(x),n?1,2,??，在[0,1]上一致收敛，证明：{fn(x)}在[0,1]上一
致有界，即：存在M?0，使得fn(x)?M，对?x?[0,1],?n成立.进一步问，如果函数列在[0,1]上点点收敛，结论是否成立，请证明你的结论. （15）设函数f(x)在[0,??]上连续，?n???0??0g(x)dx绝对收敛，证明：
lim?nf(??x)g(x)dx?f(0)g(x)dx 2?0n上海大学2004年度攻读硕士学位研究生
入学考试试题
1. 判别数列{sn}是否收敛，其中sn??(k?1n11?)，证明你的结论. 2k3k?12. 在[0,1]区间上随机地选取无穷多个数构成一个数列{an}，请运用区间套定理或有限覆盖定理证明该数列{an}必有收敛子列.
13. 设函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)?f(1)，证明方程f(x)?f(x?)在[0,1]上一定有根.
34. 证明Darboux定理：设f(x)在(a,b)上可微，x1,x2?(a,b)，如果f?(x1)f?(x2)?0，则在
x1与x2间存在一点?，使得f?(?)?0.
5. 给出有界函数f(x)在闭区间[a,b]上Riemann可积的定义，并举出一个[a,b]上有界但是
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不可积的函数例子，并证明你给的函数不是Riemann可积的.
6. 闭区间[a,b]上的连续函数f(x)，如果积分?f(x)?(x)dx?0对于所有具有连续一阶导
ab数并且?(a)??(b)?0的函数?(x)都成立，证明：f(x)?0.
sinxdx的收敛性和绝对收敛性，证明你的结论. 0x1xcost?8. 证明：lim?22dt?.
x?0?0x?t27. 判别广义积分???(?1)n?19. 计算：?.
n?02n?1??10.试将函数f(x)?x在[0,?]展成余弦级数，并计算：
1?111?????? 22235(2k?1)n???11.函数列fn(x),n?1,2,??在[0,1]上连续且对任意的x?[0,1]，fn(x)????f(x).问
f(x)是否也在[0,1]上连续，证明你的结论.
12.设函数f(x,y)?x3?y3?3xy，请在平面上每一点指出函数增加最快的方向，并计算出在该方向的方向导数.
13.求解Viviani问题，即计算球体x2?y2?z2?a2被柱面x2?y2?ax所截出的那部分体积. 14.曲面积分?Lxdx?ydy是否与路径无关，其中曲线L不过原点.证明你的结论. 22x?yx???x???15.设函数f(x)可微，若f(x)?2f?(x)????0，证明：limf(x)?0.
2005年上海大学研究生试题
1．
f'(x)?0,求lim设函数f(x)在(0,?)内连续,limx??x??f(x). x2.设函数f(x)在[0,2]上f(x)?1,f''(x)?1,求证:f'(x)?2.3.若???0x??f(x)dx收敛,limf(x)?0一定成立吗?举例或说明理由.n2005
2005k20054.求证:lim[?f()]n?e?0x??nk?15.证明:???0lnf(x)dx.
xe?axdx在0?a0?a???上一致收敛,但在0?a???上不一致收敛 8
6.给出在I上一致收敛的定义,并证明g(x)=x(x-1)在[1,??)上一致收敛.7.limx??x2?x?1?ax?b?0,求a,b的值.8.f(x)?{1x?[??,0]0x?(0,?],展成Fourier级数,并证明?=4?sin3?sin(2n?1)??sin1+3??2n?1????.9.求??x2dydz?y2dzdx?z2dydx,?:(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2?R2外侧.10.Ax2?By2?Cz2?0是椭圆方程,求证:椭圆的长半抽l?1k.其中k是方程k2?ACCk2?B?0的最小根.11.lim(a?2a2???nan1?a2???aa1x??n)?a,证明:limx??n存在,并求之.?a112.f(x)???xsinx?0,问a:?x?0x?0在什么范围内f(x)在x?0可导,在什么范围内f(x)在x?0连续13.f(x)?lnx??ef(x)dx,求?e11f(x)dx.14.已知f(x),g(x)在[a,b]上连续,f(x)?0,g(x)不变号,求lim?bnn??af(x)g(x)dx.
15.f(x)在I上连续,Fx1(x)?f(x),Fn?1(x)?1Fn(t)dt(n?1).求证:?Fn(x)?在I上一致收敛.2006上海大学数学分析真题
总共15道题，每题15分。 21． 求极限 limxsinx?e?x?14 x?x02． 求和
1111?4?4?7?7?10???1(3n?2)?(3n?1)?? 3．y?y(x)由方程ex?y?xy?e确定的，求y?y(x)的图形在（0，程。
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）处的切线方
1?4．求定积分
x?cosxdx 2?1?sinx??225．展开f(x)???|x| (???x??) 并求?1 2k?1(2k?1)?6．已知a,b,c为正，求f(x?y?z)?ax?by?cz在x2?y2?z2?1的最小值与最大值 7．xn?1?xn(1?xn) 0?x1?1 证：?xn?收敛并求值。
8．f(x)在?a,b?上有定义且在每一点有极限，证f(x)在?a,b?上有界。 9．f(x),y(x)在???， ???一致收敛，证f(x)?y(x)与f(x)g(x)是否一致收敛。10.求z=x2?y2三个坐标平面x2?y2?4所围的体积
xdy?ydxx2y211.??x2?y2 4?9?1 xb?xa12.求?dx 0lnx113．条件没记下来，证：f(1)?0;f(?)??f'(?)?0 14．f(x)在(0,1]单调,且广义积分?011nkf(x)dx收敛,证lim?f()存在（这是以前一个原n??nnk?1题，卷子上就这个题有点难）
15.设un(x),vn(x)在(a,b)连续,un(x)?vn(x)对?n成立,若?vn(x)在(a,b)点点收敛于一个连续函数,n?1?证:?un(x)也必点点收敛于一个连续函数.n?1?这年分析还是很简单，今年什么情况就不知道了，但要是还是15道题还是很好对付的。上面很多是计算的，计算你们应该没什么问题，下面就是把象15题那样的证明题做下了，再就是完备定理了，这里应该今年有题。这个我也不是很知道，我去打听下出卷子谁出，这个估计就有点知道，不过这个学校一般不告诉外人的。
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