齐齐哈尔大学毕业设计（论文）
摘 要
隐函数定理是数学分析和高等数学中的一个重要定理，它不仅是数学分析和高等代数中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如泛函分析、常微分方程、微分几何等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理有着十分广泛的应用，在经济学、优化理论、条件极值等中均有重要作用. 对本课题的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.
本文简略地论述了隐函数的概念、隐函数定理的内容及证明方法、以及隐函数定理在各个方面的应用. 本文从隐函数定理出发，给出了推论隐函数组定理和反函数组定理以及他们的证明过程. 这些推论使隐函数定理的应用更加广泛. 并针对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、以及优化理论这几个方面的应用做了系统的论述.
关键词：隐函数定理；应用；优化理论 ；证明
- I -
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Abstract
Implicit function theorem of mathematical analysis and higher mathematics is one of the important theorem, it is not only the mathematical analysis and higher algebra in the theoretical foundation of the many, and it also for many branches of mathematics, such as functional analysis, ordinary differential equation, differential several further research how to provide the solid theoretical basis. Implicit function theorem has a very wide range of application, in ec onomics, optimization theory, such as extreme conditions which is an important role. This topic research, can deepen our understanding of the differential calculus and understanding.
This paper briefly discusses the concept of implicit function, the content of the implicit function theorem and prove method, and implicit function theorem in all aspects of the application. This paper, from the implicit function theorem are given, and the corollary of implicit function theorem and the group FanHanShu group theorem and proof of their process. These claims that the application of implicit function theorem and more extensive. And in the light of implicit function theorem in the calculation of the derivative and partial derivative, geometric application, conditional extreme, and the several aspects optimization theory of the application of the system is also discussed in the paper.
Key words: implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof
- II -
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目 录
摘要 ........................................................................................................................................... I Abstract .................................................................................................................................... II
绪论 ........................................................................................................................................... 1 第1章 隐函数 ....................................................................................................................... 2
1. 1 隐函数 ....................................................................................................................... 2 1. 2 隐函数组的概念 ....................................................................................................... 2 1. 3 反函数组的概念 ....................................................................................................... 3 第2章 隐函数定理 ............................................................................................................... 4
2. 1 隐函数定理 ............................................................................................................... 4 2. 2 隐函数组定理 ........................................................................................................... 6 2. 3 反函数组定理 ........................................................................................................... 7 第3章 隐函数定理的应用 ................................................................................................... 9
3. 1 计算导数和偏导数 ................................................................................................... 9 3. 1. 1 隐函数的导数 ................................................................................................... 9 3. 1. 2 隐函数组的导数 ............................................................................................... 9 3. 1. 3 对数求导法 ..................................................................................................... 10 3. 1. 4 由参数方程所确定的函数的导数 ................................................................. 10 3. 2 几何应用 ................................................................................................................. 11 3. 2. 1 空间曲线的切线与法平面 ............................................................................. 11 3. 2. 2 空间曲面的切平面与法线 ............................................................................. 14 3. 3 条件极值 ................................................................................................................. 15 3. 3. 1 无条件极值 ..................................................................................................... 15 3. 3. 2 拉格朗日乘数法 ............................................................................................. 16 3. 4 最优化问题 ............................................................................................................. 18 3. 4. 1 无约束最优化问题 ......................................................................................... 18 3. 4. 2 约束最优化问题 ............................................................................................. 19 结论 ......................................................................................................................................... 21 参考文献 ................................................................................................................................. 22 致谢 ......................................................................................................................................... 23
- III -
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绪 论
通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式表示的，这种形式的函数我们称之为显函数. 但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个或多个方程来确定的，由此便产生了隐函数. 隐函数的产生为许多数学问题的解决带来了极大的方便，本文就隐函数的存在性定理、连续性定理、可微性定理做了系统的研究. 隐函数定理是高等数学和数学分析中的一个非常重要的定理，它不但是高等数学和数学分析中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如微分几何、常微分方程、泛函分析等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理的应用范围十分广泛，在数学分析、几何、优化理论、条件极值中均有重要作用. 对隐函数定理及其应用的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.
现今国内外很多学者都在研究隐函数定理及其应用这个课题，也把它的有关知识作为一种工具用于证明、计算其它定理. 我国数学家陈文源、范令先教授在1986年出版《隐函数定理》一书，在书中提出许多独到见解，并由隐函数定理得出许多推论. 法国数学家扎芒斯凯在1989年出版《普通数学》一书，其中对隐函数定理进行了更深层次的研究. 我国学者史艳维在2010年发表期刊《关于隐函数定理和Peano定理的一点注记》，其中给出了隐函数定理的另一种证明方法. 我国学者王锋、李蕴洁在2005年发表期刊《隐函数定理在经济学比较静态分析中的应用》，更好的诠释了隐函数定理在其他领域内的应用.
本文主要论述了隐函数定理及隐函数定理的一些推论，并给出了隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、最优化问题这四个方面上的应用.
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第1章 隐函数
隐函数与我们以前接触的函数有所不同，它是数学分析中相对于显函数而言的一种函数变现形式. 在这一章里，我们将具体地研究隐函数.
1.1 隐函数
以前接触的函数f(x)（对应关系）多是用自变量的数学表达式表示的，一般称这样的函数为显函数. 如f(x)?x?2，f(x)=cosx等.
定义1. 1[1] 若自变量x与因变量y之间的对应关系f是由某个方程F(x,y)?0所确定的，即有两个非空数集A与B，对任意x?A,通过方程F(x,y)?0对应唯一一个y?B,这种对应关系称为由方程F(x,y)?0所确定的隐函数. 记为y?f(x)，x?A，y?B则成立恒等式
F(x,f(x))?0，x?A
例如，二元方程F(x,y)?4x?5y?24?0在R上确定（从中解得）一个隐函数. 隐函数不一定能写成y?f(x)的形式，如x2?y2?1，因此隐函数不一定是函数，而是方程. 其实总的来说，函数都是方程，而方程却不一定是函数.
[2]
1.2 隐函数组的概念
定义1.2[3] 设F(x,y,u,v)和G(x,y,u,v)为定义在区域V?R4上的两个四元函数，若存在平面区域D,对于D中每一点(x,y)，分别在区间J和K上有唯一一对值
u?J,v?K,它们与x，y一起满足方程组
?F(x,y,u,v)?0 (1-1) ??G(x,y,u,v)?0则称方程组(1-1)确定了两个定义在区域D上，值域分别在J和K内的函数，称这两个函数为方程组(1-1)所确定的隐函数组. 若分别记这两个函数为u?f(x,y)，
v?g(x,y)则在D上成立恒等式
F(x,y,f(x,y),g(x,y))?0，G(x,y,f(x,y),g(x,y))?0
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