齐齐哈尔大学毕业设计（论文）
解 由x???asint,y?acost,z?b，则切线方程为：
x?acos?asin即
?3?y?asinacos?3?z?bb?3
??33?a3y?az?b3 2?2?ab3?a22x?因此法平面方程为：
3aa3?a(x?)?(y?a)?b(z?b)?0 222233. 2. 1. 2 空间曲线为两曲面交线的情况
?F(x,y,z)?0设空间曲线L由方程组?(3-2)给出，设它在点P0(x0,y0,z0)的邻域内满
?G(x,y,z)?0?(F,G)?0）足隐函数组定理的条件（这里不妨设，则由隐函数存在定理可知在方程
?(x,y)p0?组(3-2)点P0附近可确定唯一连续导数的隐函数组x?x(z)，y?y(z)，z?z（亦即L的参数方程），满足：
x0?x(z0),y0?y(z0)
且
x?(z0)???(F,G)?(z,y)?(F,G)?(x,y)p0 y?(z0)???(F,G)?(x,z)?(F,G)?(x,y)p0
p0p0故曲线L在点P0的切线方程为：
x?x0?(F,G)?(y,z)p0=
y?y0?(F,G)?(z,x)p0=
z?z0?(F,G)?(x,y)?(F,G)?(x,y)p0 (3-3)
曲线L在点P0的法平面方程为：
?(F,G)?(y,z)(x?x0)+
p0?(F,G)?(z,x)(y?y0)+
p0(z?z0)=0 (3-4)
p0同理，可证当
?(F,G)?(y,z)?0或
p0?(F,G)?(z,x)?0时，曲线L在点P0的切线方程为(3-3)式，曲
p0线L在点P0的法平面方程为仍为(3-4)式.
?x2?y2?z2?3x例3. 6 求曲线?在点P(1,1,1)处的切线与法平面方程.
?2x?3y?5z?4- 13 -
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?F(x,y,z)?x2?y2?z2?3x解 令?，首先求偏导数，得：
?G(x,y,z)?2x?3y?5z?4Fx?2x?3，Fy?2y，Fz?2z，Gx?2，Gy??3，Gz?5 则曲线在点P的切线方向向量为：
?FyFzFzFxFxFy??222?1?12???????(16,9,?1) ,,,,?GyGzGzGxGxGy???35522?3?????故切线方程为
x?1y?1z?1?? 169?1法平面方程为
16x?9y?z?24
3.2.2 空间曲面的切平面与法线[14]
定义3. 1在空间曲面?上，过点P0(x0,y0,z0)的任一曲线在点P0处的切线都在同一平面上，则此平面称为曲面?在点P0的切平面.
先讨论曲面?的方程为F(x,y,z)?0的情形，其次把显式给出的曲面方程
z?f(x,y)作为它的特殊情形. 设曲面?由方程F(x,y,z)?0给出，其中F具有一阶连续
的偏导数，在曲面?上，过点P0(x0,y0,z0)的任一曲线的参数方程为
x?x(t),y?y(t),z?z(t) ??t??，其中x(t),y(t),z(t)均可导，则曲线在点P0处的切线
?方向向量为??(x?(t0),y?(t0),z?(t0))，由于曲线在曲面?上，故有F(x(t),y(t),z(t))?0，
对上式两端关于t求导，得：
Fx?(P0)x?(t0)?Fy?(P0)y?(t0)?Fz?(P0)z?(t0)?0
即 (x?(t0),y?(t0),z?(t0))(Fx?(P0)?Fy?(P0)?Fz?(P0))?0
这表明向量((Fx?(P0),Fy?(P0),Fz?(P0))与曲面上过点P0的任一曲线的切线都垂直，故所有切线都在以向量((Fx?(P0),Fy?(P0),Fz?(P0))为法向量且过点P0的平面内，从而曲面?过点P0的切平面的法向量为：
?n?((Fx?(P0),Fy?(P0),Fz?(P0))
于是过曲面?上点P0(x0,y0,z0)处的切平面方程为：
Fx?(P0)(x?x0)?Fy?(P0)(y?y0)?Fz?(P0)(z?z0)?0
过点P0(x0,y0,z0)处的法线方程为：
x?x0z?z0y?y0== ???Fx(P0)Fy(P0)Fz(P0)上述讨论中，都假设(Fx?(P0),Fy?(P0),Fz?(P0)不全为零，现在来考虑曲面?的方程为
z?f(x,y)的情形，其中f都有连续的偏导数，令F(x,y,z)?z?f(x,y)使方程变形为
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F(x,y,z)?0
则：
Fx?(P0)??fx?(x0,y0),Fy?(P0)??fy?(x0,yo),Fz?(P0)?1
所以曲面?在点P0的法向量为：
?n?(?fx?(x0,y0),?fy?(x0,yo),1) 故曲面?在点P0的切平面方程为：
fx?(x0,y0)(x?x0)?fy?(x0,y0)(y?y0)?z?z0
曲面?在点P0的法线方程为：
z?z0x?x0y?y0==，其中z0?f(x0,y0)
?1fx?(x0,y0)fy?(x0,y0)??曲面?：z?f(x,y)上的法向量可以是n?(?fx?,?fy?,1)，也可以是n?(fx?,fy?,?1)，
但当曲面?的法向量向上时（即法向量正向与z轴正向夹角?满足大于0小于
?的法向量应为n?(?fx?,?fy?,1).
例3. 7[15] 求球面x2?y2?z2?14在点(1,2,3)处的切平面及法线方程. 解 设F(x,y,z)?x2?y2?z2?14，则
Fx(x,y,z)?2x,Fy(x,y,z)?2yFz(x,y,z)?2z,Fx(1,2,3)?2Fy(1,2,3)?4,Fz(1,2,3)?6?时）?2
球面在点(1,2,3)处的法向量为?2,4,6?，所以球面在点(1,2,3)的切平面方程为：
2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0
即：
x?2y?3z?14?0
法线方程为：
x?1y?2z?3??. 123
3.3 条件极值
3.3.1 无条件极值 3. 3. 1. 1 极值的概念
定义3.2 设函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域U(P0)内有定义，如果对
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?(x,y)?U(P0)都有f(x,y)?f(x0,yo)或（f(x,y)?f(x0,yo)）则称f(x0,yo)为函数，此时点P0称为f(x,y)的极大值点（或极小值点），f(x,y)的一个极大值（或极小值）
函数的极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点.
3. 3. 1. 2 极值存在的条件
(1)极值存在的必要条件
定理3.2 设函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处具有偏导数，且在点P0(x0,y0)处有极值，则在该点的偏导数为零，即fx(x0,yo)?0，fy(x0,yo)?0
证 不妨设函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处有极大值（极小值的情形可类似证明），由极大值定义，在点P0(x0,y0)的某邻域内异于点P0(x0,y0)的点P(x,y)都适合不等式
f(x,y)﹤f(x0,yo)，特别的，在该邻域内取y?y0，x?x0的点，也有
f(x,y0)﹤f(x0,yo)，这表明一元函数f(x,y0)在x?x0处取得极大值，因此必有fx(x0,yo)?0，同理，fy(x0,yo)?0
(2)极值存在的充分条件
定理：设函数z?f(x,y)在驻点(x0,y0)的邻域内具有连续的一阶与二阶偏导数，记：
A?fxx(x0,yo)，B?fxy(x0,yo)，C?fyy(x0,yo)，①当B2?AC﹤0时，f(x,y)在点(x0,y0)具有极值，且当A﹤0时有极大值，当A﹥0时有极小值. ②当B2?AC﹥0时
f(x,y)在点(x0,y0)没有极值. ③当B2?AC=0时，f(x,y)在点(x0,y0)可能有极值，需
另作讨论.
例3.8[17]求函数z?x3?4x2?2xy?y2的极值.
??z2?3x?8x?2y?0???x解 方程组??z，求得驻点为(0,0)和(2,2)
?2x?2y?0???y?再求出二阶偏导数
?2z?2z?2z?6x?8，?2，2??2 2?x?x?y?y在点(0,0)处，A??8,B?2,C??2,B2?AC??12?0,A??8?0,故函数在点
(0,0)处取得极大值f(0,0)?0，在点(2,2)处，A?4,B?2,C??2，B2?AC?12?0故
点(2,2)不是函数的极值点.
3.3.2 拉格朗日乘数法
自变量有附加条件限制多元函数的极值称为条件极值，比如函数z?f(x,y)在条件
?(x,y)?0(3-5)下取得的极值就是条件极值. 现在讨论函数z?f(x,y)在条件?(x,y)?0- 16 -
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取得极值的必要条件.
设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内f(x,y)，?(x,y)均有连续的一阶偏导数，且?y(x0,yo)?0，则方程?(x,y)?0能唯一确定y是x的具有连续导数的单值函数
y?y(x)，将其代入函数z?f(x,y)，得一元函数z?f(x,y(x))，于是二元函数z?f(x,y(x))在点x0取得极大值的问题，由一元可导函数取得极大值的必要条件知
应有：
dzdy?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0 (3-6) dxx?x0dxx?x0又由隐函数求导公式，有：
?(x,y)dy??x00 dxx?x0?y(x0,y0)代入(3-6)式中得：
fx(x0,y0)?fy(x0,y0)即：
fx(x0,y0)??x(x0,y0)?0
?y(x0,y0)fy(x0,y0)?y(x0,y0)??(x0,y0)?0 (3-7)
(3-5)、(3-7)式就是z?f(x,y)在条件?(x,y)?0下，在点(x0,y0)取得极值的必要条件. 令???fy(x0,y0)?y(x0,y0)即：
fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0 (3-8) 则(3-7)式变为
fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0 (3-9)
由(3-5) (3-8) (3-9)式得函数f(x,y)在(x0,y0)取得条件极值的必要条件是：
?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0? ?fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0 (3-10)
??(xo,y0)?0?实际上(3-10)式可看作函数F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)，在点(x0,y0,?)取得无条件极值的必要条件. 因此为了便于记忆，求函数z?f(x,y)在条件?(x,y)?0下的可能极值点，可以构造辅助函数F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)，其中?为某一常数，称为拉格朗日乘数，称函数F(x,y,?)为拉格朗日函数，分别求F(x,y,?)对x,y,?的偏导数，并使它们同时为零，得联立方程组
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