= (代回u=sinx)
=
=
=ln|secx+tanx|+C .
公式:∫secxdx=ln|secx+tanx|+C . 例.2.5.17求∫cscxdx . 解.原式=
=
=ln|cscx-cotx|+C .
公式:∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C .
凑微分法是不定积分换元法的第一种形式，其另一种形式是下面的第二换元法．
5.第二换元法
不定积分第一换元法的公式中核心部分是 ∫f[?(x)]?'(x)dx=∫f(u)du
我们从公式的左边演算到右边，即换元：u=?(x)．与此相反，如果我们从公式的右边演算到左边，那么就是换元的另一种形式，称为第二换元法．即若f(u),u=?(x),?'(x)均连续,u=?(x)的反函数x=?-1(u)存在且可导,F(x)是f[?(x)]?'(x)的一个原函数,则有
∫f(u)du ?∫f[?(x)]?'(x)dx ?F(x)+C ?F[?-1(u)]+C . 第二换元法常用于被积函数含有根式的情况． 例2.5.18求
(此处?(t)=t2)．于是
解.令原式=
=
=
注.你能看到，换元分．
第二换元法除处理形似上例这种根式
，
(代回t=?-1(x)=
)
=t的目的在于将被积函数中的无理式转换成有理式,然后积
以外，还常处理含有根式，
(a>0)的被积函数的积分．
换元方法 x=asect 被积函数含根式 运用的三角公式 sec2t-1=tan2t tan2t+1=sec2t 1－sin2t=cos2t x=atant x=asint 例2.5.19求. (a>0)
解.令x=asect，则dx=asect tant dt,于是 原式=
=∫sectdt
=ln|sect+tant|+C1 .
到此需将t代回原积分变量x，用到反函数t=arcsec
，但这种做法较繁．下面介
绍一种直观的便于实施的图解法：作直角三角形，其一锐角为t及三边a，x，满足：
sect=
由此，原式=ln|sect+tant|+C1
= =
.
注．C1是任意常数,-lna是常数,由此C=C1-lna仍是任意常数． 例2.5.20求
.
解.令x=atant，则dx=asec2tdt，于是 原式=
=∫sectdt
(a>0)
=ln|sect+tant|+C1 ．
图解换元得
原式=ln|sect+tant|+C1
=
.
公式:
.
例2.5.21求
. (a>0)
解.令x=asint，则dx=acostdt，于是 原式=
=
=
+C .
图解换元得：
原式=
+C
=+C .
除了换元法积分外，还有一个重要的积分公式，即分部积分公式．
思考题.在第二换元法公式中，请你注意加了一个条件“u=?(x)的反函数x=???(u)存在且可导”，你能否作出解释，为什么要加此条件？
6.分部积分公式
我们从微分公式 d(uv)=vdu+udv 两边积分，即
∫d(uv)=∫vdu+∫udv
由此导出不定积分的分部积分公式
∫udv=uv -∫vdu
下面通过例子说明公式的用法． 例2.5.22求∫x2lnxdx 解.∫x2lnxdx
===
例2.5.23求∫x2sinxdx.
.
(将微分dlnx算出)
解.原式=∫x2d(-cosx) (凑微分)
=-x2cosx-∫(-cosx)d(x2) (用分部积分公式) =-x2cosx+∫2xcosxdx
=-x2cosx+2∫xdsinx (第二次凑微分) =-x2cosx+2[xsinx－∫sinxdx] (第二次用分部积分公式) =-x2cosx+2xsinx+2cosx+C .
例2.5.24求∫exsinxdx.
解.∫exsinxdx=∫sinxdex (凑微分)
=exsinx-∫exdsinx (用分部积分公式) =exsinx-∫excosxdx (算出微分) =exsinx-∫cosxdex (第二次凑微分) =exsinx-[excosx-∫exdcosx] (第二次用分部积分公式) =ex(sinx-cosx)-∫exsinxdx (第二次算出微分) 由此得：
2∫exsinxdx=ex(sinx-cosx)+2C
因此∫exsinxdx=
(sinx-cosx)+C ．
注.(1)此例中在第二次凑微分时，必须与第一次凑的微分形式相同．否则若将∫excosxdx凑成∫exdsinx,那将产生恶性循环，你可试试．
(2)积分常数C可写在积分号∫一旦消失之后． 例2.5.25求∫arctanxdx
解.此题被积函数可看作x0arctanx，x0dx=dx，即适合分部积分公式中u=arctanx，v=x．故