习题3—3
1．将x的多项式x4?5x3?x2?3x?4表为（x?4）的多项式。 2．应用Maclaurin公式，将函数f(x)?(x3?3x?1)3表示为x的多项式。 3．当x0?4时，求函数y?x的三阶Taylor公式。
14．当x0??1时，求函数f(x)?的n阶Taylor公式，并写出拉格朗日型余项。
x
习题3—4
1．判定函数f(x)?x?cosx(0?x?2?)的单调性。 2．证明：y?x3?x单调增加。
3．判定函数f(x)?arctanx?x的单调性。
x2?14．证明：y?在不含点x?0的任何区间都是单调增加的。
x5．求下列函数的单调区间：
（1）y?2x3?6x2?18x?7；
10（3）y?3；
4x?9x2?6x（2）y?(x?2)5(2x?1)4； （4）y?3(2x?a)(a?x)2(a?0)；
（5）y?2x2?lnx； （6）y?ln(x?1?x2)。 6．证明下列不等式：
1（1）1?x?1?x (x?0)； （2） 1?xln(x?1?x2)?1?x2(x?0)；
2???（3）sinx?tanx?2x?0?x??； （4）arctanx?x(x?0)。
2??7．试证方程sinx?x只有一个实根。
8．试确定方程x3?3x2?9x?2?0的实根个数，并指出这些根所在范围。 9．单调函数的导函数是否必为单调函数？（研究：f(x)?x?sinx）
习题3—5
1．求下列函数的极值： （1）y?2x3?3x2；
1xx（2）y?1?3x4?5x2；
（3）y?x?ln(1?x2)； （6）y?x?tanx。
（4）y?； （5）y?2ex?e?x；
2．求下列函数在指定区间上的最大值和最小值：
[?1,2]； （1）y?x5?5x4?5x3?1， （2）y?
11
1?x?x21?x?x2, [0,1]；
a2b2?（3）y?， x1?x
(0,1),(a?b?0)； [?5,1]；
（4）y?x?1?x， （5）y?sin2x?x， （6）y?arctan??????2,2?； ??[0,1]； [?10,10]。
1?x， 1?x（7）f(x)?|x2?3x?2|，
3．将8分为两部分，怎样分才使它们的立方之和为最小？ 4．设一球的半径为R，内接于此球的圆柱体的最高为h，问h为多大时圆柱的体积最大？
5．过平面上一已知点P(1,4)引一条直线，要使它在二坐标轴上的截距都为正，且它们之和为最小，求此直线的方程。
6．对某个量x进行n次测量，得到n个测量值x1,x2,?,xn，试证：当x取这n上数的算术平均值
x1?x2???xn时，所产生的误差的平方和：
n(x?x1)2?(x?x2)2???(x?xn)2为最小。
7．有一杠杆，支点在它的一端，在距支点0.1m处挂一重量为49kg的物体，加力于杠杆的另一端，使杠杆保持水平（图3.5.3），如果杠杆本身每米的重量为5kg，求最省力的杆长？
8．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（图3.5.4）。问留下的扇形的中心角?为多大时，做成的漏斗的容积最大？
习题3—6
1．求下列各函数的凹凸区间及拐点： （1）y?x?5x?3x?5； （3）y?x5；
32
（2）y?x3x2?3a2 （a为任意正数）；
（4）y?(x?1)4?ex； （6）y?ln(x2?1)； （8）y?xe?x。
（5）y?earctanx；
（7）y?x4(12lnx?7)；
2??x?t3．求曲线?的拐点。
3??y?3t?t
2．问a和b为何值时，点（1，3）为曲线y?ax3?bx2的拐点？
12
4．试确定y?k(x2?3)2中的k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。
习题3—7
求下列曲线的渐近线：
11．y?2；
x?4x?5x2．y?；
(1?x)(1?x)23．y?4．y?x4(1?x)3； ；
x2x?125．y?2x?arctan
x。 2习题3—8
描绘下列函数的图形：
11．y?(x4?6x2?8x?7)。
512．y??4x2。
x3．y?e?(x?1)。 4．y?ln(x2?1)。 5．y?9a3x2?a2(a?0)。
26．y?e?xsinx(x?0)。
习题3—9
1．求抛物线y?x2?4x?3在顶点处的曲率及曲率半径。 2．计算曲线y?chx上点（0，1）处的曲率。
3??x?acost3．求曲线?在t?t0处的曲率。
3??y?asint?x?a(cost?tsint)?4．求曲线?在t?处的曲率。
2?y?a(sint?tcost)y2x5．证明曲线y?ach在任何一点处的曲率半径为。
aa
13
习题3—10
1．试证明方程x5?5x?1?0在区间（?1,0）内有惟一的实根，并用切线法求这个根的近似值，使误差不超过0.01。
2．求方程xlgx?1的近似根，使误差不超过0.01。
习题4—1
1．定积分
?ba介于曲线y?f(x)，x轴与x?a,x?b之f(x)dx的几何意义可否解释为：
间的曲边梯形的面积？
2．设物体沿x轴，在变力F?F(x)的作用上，由点a移到点b(a?b)，试用定积分概念（积分和式的极限）来表示变力F所作的功W
3．利用定积分的几何意义，说明下列等式：
（1）（3）
?102xdx?1；
（2）（4）
?101?x2dx??4；
???sinxdx?0；
?????cosxdx?2?2?220cosxdx。
4．把下列定积分写成积分和式的极限：
1?1（1）； （2）dxsinxdx。
001?x25．根据定积分的性质，说明下列积分哪一个的值较大？
????（1）（3）
1021x2dx与
?10x3dx；
22 （2）（4）
??21x2dx与
x?21x2dx；
lnxdx与
y02?1(lnx)dx；
x??dx与?2?3??1?1???1?23xdx。 dy。 dx6．求由
?e?tdt??0cos(t2)dt?0 确定的隐函数y对x的导数
7．计算下列各导数：
dxsint（1） dt；
dx1td01?x4dx； （3）
dyy8．计算下列各定积分：
?
?ddxd（4）
dx（2）（2）（4）（6）
?lnx1etdt；
22?x2xe?tdt。
（1）（3）（5）
?31x3dx；
??943x(1?x)dx； dx1?x2??121?210dx1?x2；
1/3；
?e?xdx
?40tan2?d?；
14
（7）
?2?0|sinx|dx；
?2x（8）设f(x)??2?3x(x?1)(x?1)，求
?20f(x)dx。
9．求下列极限 （1）lim1x?0x?0sinxcos(t2)dt；
?（2）limx???2x0(arctant)2dtx?12
?x210．设f(x)???x求?(x)?(0?x?1)，
(1?x?2)?x0f(t)dt在[0，2]上的表达式，并讨论?(x)在（0，2）内的连续性。
3211．求极限
n??lim(1?2?3???n)n?。
习题4—2
1．求下列不定积分（其中，a，m，n，g为常数）：
dx（1）xxdx； （2）；
x2x???（3）（6）
?mxndx；
2（4）（7）
??0.611??3?u????du； （5）uu??2?dh2gh；
3?(x?2)?xdx； dx；
?(x??1)dx；
dx；
2（8）
?(?（9）x?1)(x?1)dx；
10x3?34（10）（13）（16）（19）
(1?x)2xx??（11）
3x4?3x2?1x2?1tt?32dx；（12）???1?x21?x2????dx； ???e?x?e?1?2??dx； （14）x???a??edt； （15）
?2?3x?5?2x3xdx；
??（17）secx(secx?tanx)dx；
?tan2xdx； （18）
?cos2xdx； 2（20）
cos2xdx； （21）
cosx?sinx?dx；
1?cos2xcos2xcosx?sinx22dx。
12．e2x,exshx和exchx是否都是e2x的原函数？
23．已知曲线上任意一点的切线的斜率为切点横坐标的二倍，求满足上述条件的所有曲线方程，并求出过点（0，1）的曲线方程。
4．一物体由静止开始运动，经t和后的速度是3t2（米/秒），问： （1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完360米需要多少时间？
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