习题4—3
1．计算下列不定积分： （1）e5tdt； （4）（7）
? （2）（5）（8）
???(1?2x)5dx； sinttdt；
（3）
??dx； 3?2xx?8?2xdx；
（6）ex?edx； （9）tan10xsec2xdx； ?a?xdx； dx；
?a?x（10）
?dxsinx?cosx；
?x2（13）4?x6dx； （16）?ex(1?ex)
1?e2xdx；（19）?2x?11?x2dx；
（22）
?dx4?x2；
（25）?cos2xdx；
（28）?102arccosxdx； 1?x2（31）
?x2dx；
a2?x2?2（34）
x?9xdx； 2．计算下列定积分
（1）?1dx?sin2x；
?21?（4）?4dx01?sin2x；
（7）
?22?28?2ydy；（10）
?3dx； 1x21?x2t2（13）
?1tt0e?dt； xlnxlnlnx（11）
?dxex?e?x；
（14）?x21?x3dx；
（17）?cos4x?sin3xdx；（20）?x39?x2dx； （23）
?dx2x2?1；
（26）?cos2(wt??)dt；（29）?cos3x?cos5xdx；（32）
?dx； xx2?1（35）?dx1?2x； （2）?0dx?2x2?2x?2； （5）
??/22?/6cosudu； （8）
?a2a2?x20xdx （11）
?3dx0x(1?x)； （14）?e2dx11?lnx； 16
12）?xcos(x2)dx； 15）
?2x1?4xdx；
18）?cosx?sinx1?cos2xdx； 21）
?xx4?2x2?5dx；
24）?dx(x?1)(x?2)；
27）?tan3x?secxdx；
30）?dx；(arcsinx)21?x233）
?dx；
(x2?1)336）
?dx。
1?1?x23）?4dx11?x；
6）?10x1?xdx；
9）
?21?x21/2x2dx； 12）
?2axdx； 03a2?x2?15）
?2??cosxcos2xdx；
2（（ （（（ （ （
（（（（（ （
（
?（16）
??2?（17）cosx?cosxdx；
32??0（18）1?cos2xdx；
?10dxex?1。
3．利用函数的奇偶性计算下列积分 （1）
?????xsinxdx； (arcsinx)224 （2）
??4cos2?24?d?；
dx。
（3）
1?x4．设f(x)为连续函数，证明：
?121?2dx；
（4）
?5?5x3sin2xx?2x?1421xf(x)dx?025．设f(x)在[?b,b]上连续，证明：
?a32?a20xf(x)dxb?b(a?0)。
??7．证明：8．证明：9．证明：
1x1b?bf(x)dx??0f(?x)dx。
6．对于任意常数a，证明：
a0f(x)dx??af(a?x)dx。
?1dxx2x1???dx1?x2(x?0)。
1??10xm(1?x)ndx???0xn(1?x)mdx。
?0sinxdz?2n?20sinnxdx。
10．设f(x)是以2l为周期的连续函数，证明：11．若f(x)是连续函数且为奇函数，证明： 若f(x)连续函数且为偶函数，证明：
?a?la?lf(x)dx的值与a无关。
?xx0f(t)dt是偶函数；
?0f(t)dt是奇函数。
习题4—4
1．计算下列不定积分：
?（4）?xln(x?1)dx； （7）?xtanxdx；
（1）xcosmxdx；
2?2t（2）tedt；
?（5）?x（8）?x?
22lnxdx； cosxdx；
?（6）?xarctanxdx； （9）?(lnx)dx；
（3）arcsintdt；
22（10）
lnx?(1?x)2dx；
2（11）(x?1)sin2xdx；（12）xsinx?cosxdx；
?17
(lnx2)dx； （13）?x2（14）e??2xsinxdx； （15）?eaxsinnxdx； 22（18）(arcsinx)dx；
?ln(x?1)（19）?dx；
x?1（16）e2x?1dx；
2（17）xcosxdx；
??（20）x?2x2?a2dx；（21）?arctan?0xdx。
2．计算下列定积分： （1）
?e11xlnxdx；
（2）（5）（8）
x??4sin2xdx；
3?（3）
?(xsinx)2dx；
?ln(1?x)（4）?dx；
0(2?x)2（7）
?212x（6）?2ecosxdx； arctanx?1dx；
20?e1sin(lnx)dx；
?40exdx；
（9）
?ee?1|lnx|dx。
习题4—5
1．求下列不定积分：
x5?x4?82x?3dx； （1）dx； （2）32x?xx?3x?10xdxx2?1dx； （4）；（5）
(x?1)(x?2)(x?3)(x?1)2(x?1)dxdx（7）； （8）
(x2?1)(x2?x)x4?1???（3）
???（10）（13）（16）
???dx；
1?tanx(x)3?1x?1 （11）（14）（17）
???dx；
1?sinx?cosxx?1?1x?1?11x(1?x)dx； dx；
?1dx（6）；
x(x2?1)1（9）dx；
x4?1dx（12）； 31?x?1?x?33dx
??dx； （15）
?21x?4xdx；
1?xdx； 1?x（18）
?x1x?2x?2dx。
2．用学过的方法求下列不定积分
xx11dx； dx； （1）（2）363(1?x)(6?x)lnlnxdx（4）（5）； dx；
x(a2?x2)5/2????（7）
?xsinxdx；
（8）ln(1?x2)dx； （11）
?（10）
?1?cosxdx；
sinx?(1?xx382)dx；
1?cosxdx；
x?sinx1dx； （6）
42x1?xxcosx（9）dx；
sin3xx11dx； （12）8x?3x4?2（3）
???? 18
（13）
?1?xx24dx； （14）
（16）esinsin2xdx； （19）
?2x?xlnxdx； （17）[ln(x?1?x2)]2dx；（18）
(1?x2)3/2?xcos4?（15）
2dx； sin3x?x(3x3dx；
??1?x212?sinx（22）； （23）dxdx； 442?cosxsinxcosx
?1?xarcsinxdx；（20）
2?x2arccosxdx； （21）
??1?tanxdx；
sin2xsinxcosxdx。
sinx?cosx??（24）
习题5—2
1．求由下列各曲线所围图形的面积： （1）y?lnx,y?e?1?x及直线y?0；
（2）y?ex,y?e?x及直线x?1；
（3）y?lnx,y轴与直线y?lna,y?lnb(0?a?b)；（4）y?x2与直线y?x及y?2x。 2．求由下列曲线所围图形的面积：
（1）r?2acos?； （2）x?acos3t,y?asin3t； （3）r?2a(2?cos?)。 3．求下列各曲线所围图形的公共部分的面积： （1）r?1及r?1?sin?； （2）r?2sin?及r2?cos2?。
习题5—3
1．设D曲线y?1?sinx与三角直线x?0,x??,y?0围成的曲边梯形，求D绕x轴旋转一周所成的旋转体积。
2．求y?x2与y?x3围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体体积。
12x2x,y??1与直线y?10围成的图形绕y轴旋转而3．有一铸件，系由抛物线y?1010成的旋转体。试算出其质量（长度单位是10-2m，铸件密度7.8×103kg/m3）。
4．求下列曲线围成的图形沿给定轴旋转产生的旋转体之体积：
（1）y?x2，x?y2，绕y轴；
（2）
x2?(y?5)2?16，绕x轴。
5．设有截锥体，高为h上、下底为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求截锥体的体积。
6．计算底面是半径为R的圆，而垂直于底而上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的体积（图5.3.5）。
习题5—4
1．计算曲线y?lnx上相应于3?x?8的一段弧的长度。
19
2．计算曲线y?3．求曲线y?x(3?x)上相应于1?x?3的一段弧的长度。 3x???cosxdx的弧长。
24．计算星形线x?acos3t,y?asin3t的全长。 5．计算渐伸线x?a(cost?tsint),y?a(sint?tcost)上相应于t从0到?的一段弧的长度。
6．求对数螺线r?ea?自??0到???的一段弧长。
34到??的一段弧长。 438．求心形线r?a(1?cos?)的全长。
19．计算曲线x?arctant,y?ln(1?t2)从t?0到t?1的弧长。
2
7．求曲线r??1自??
习题5—6
1．直径为20厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强为10Newton/厘米2的蒸气，设温度保持不变，要使蒸气体积缩小一半，问需要做多少功??
2．一物体按规律x?ct3作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体在由x?0移至x?a时，克服媒质阻力所做的功。
3．洒水车上的水箱是一个横向的椭圆柱体，尺寸如图5.6.5所示，当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。
4．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10米和6米，高为20米，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。
5．一高为5米的圆柱形贮水桶，其底半径为3米，桶内装满了水，问把桶内的水全部吸收需要做多少功??
6．一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3厘米，试求它每面所受的压力。
7．边长为a和b(a?b)的矩形薄板，与液面成?角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深ｈ处，试求薄板每面所受的压力(假设液体比重为?重力加速度为ｇ)。
8．设有长为l，线密度为?的均匀细棒，在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M，试求细棒对质点M的吸引力。
9．设有一半径为R，中心角为?的圆弧形细棒，其线密度为常数?，在圆心处有一质量为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力F。
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