空间向量的运算及应用
知识梳理
数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；
②a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量)； ③|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2. (2)向量的坐标运算：
向量和 向量差 数量积 共线 垂直 夹角公式 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b322a21＋a2＋a3222 b1＋b2＋b3 方法归纳
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB为直线l的方向向量，与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向
?a＝0，?n·
量，则求法向量的方程组为?
?n·b＝0.?
2．建立空间直角坐标系的原则：
(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法：
用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．
1
[练一练]
1．若平面π1，π2垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是( ) A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1) B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1) D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2) 解析：选A 两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A中的两个向量垂直．
2．已知a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a＋b与a－b的夹角是________． 解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2θ＋1＋sin2θ)－(sin2θ＋1＋cos2θ)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)，即向量a＋b与a－b的夹角为90°. 答案：90°
3．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是________．
解析：建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0，1)，M?0,??1?1?1??1???N?0,1,?，则A1M＝??1,,?1?，DN＝?0,1,?，所以cos〈A1M，DN〉,0?，
2?22??2????＝
＝0，所以A1M⊥DN，故异面直线A1M与DN所成角的大小为90°.
|A1M|·|DN|
DNA1M·
答案：90°
空间向量在立体几何中的应用
角度一 利用空间向量证明平行或垂直
如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝2，M是线段B1D1的中点． (1)求证：BM∥平面D1AC； (2)求证：D1O⊥平面AB1C；
2
[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1,1,0)，D1(0,0，2)，
∴OD1＝(－1，－1，2)，又点B(2,2,0)，M(1,1，2)，
∴BM＝(－1，－1，2)，∴OD1＝BM.又∵OD1与BM不共线， ∴OD1∥BM.
又OD1?平面D1AC，BM?平面D1AC，∴BM∥平面D1AC. (2)连接OB1，点B1(2,2，2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
AC＝(－1，－1，2)·∵OD1·(1,1，2)＝0，OD1·(－2,2,0)＝0， OB1＝(－1，－1，2)·
∴OD1⊥OB1，OD1⊥AC，即OD1⊥OB1，OD1⊥AC， 又OB1∩AC＝O，∴D1O⊥平面AB1C. [解题通法]
利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直：
(1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)． 则l1∥l2?v1∥v2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． l1⊥l2?v1⊥v2?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α?v⊥n?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
l⊥α?v∥n?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．
（3）设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β?n1∥n2，α⊥β?n1⊥n2.
角度二 异面直线所成角的求法
设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝面直线a，b所成的角)．
例1．在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC
|a·b|
(其中φ为异|a||b|
3
＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( ) A.
3013015 B. C. D. 1021510
解析：选A 建立如图所示的坐标系，
设BC＝1，则A(－1,0,0)，F1??B(0，－1,0)，D1???1?,0,1?， ?2??11??1?,?,1?，则AF1＝??,0,1?， ?22??2?AF1·BD130?11?＝. BD1＝??,,1?. ∴cos〈AF1，BD1〉＝1022| |||AFBD??112．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________．
解析：以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则A(1,0,0)，M?1,,1?，C(0,1,0)，N?1,1,?. ∴AM＝?0,?1??2???1?2???1?1??,1?，CN＝?1,0,?.设直线AM与CN所成的角为θ，则
2?2??cos θ＝|cos〈AM，CN〉|＝
CN||AM·
|AM||CN|
＝1
211＋× 4
22＝. 答案： 515
1＋4
[解题通法]
4
1．向量法求异面直线所成的角的方法有两种 (1)基向量法：利用线性运算． (2)坐标法：利用坐标运算．
2．注意向量的夹角与异面直线所成角的区别
当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
3．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为?0,角度三 直线和平面所成的角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，|n·e|
两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.
|n||e|
????2??.
例．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．
解析：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)．∵AM⊥PD，PA＝AD， ∴M为PD的中点，∴M的坐标为(0,1,1)． ∴AC＝(1,2,0)，AM＝(0,1,1)，CD＝(－1,0,0)． 设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由n⊥AC，n⊥AM??x＋2y＝0
可得?，
?y＋z＝0?
令z＝1，得x＝2，y＝－1.∴n＝(2，－1,1)．设直线CD与平面ACM所成的角为α， |CD·n|633
则sin α＝＝.∴cos α＝，即直线CD与平面ACM所成角的余弦值为
33|CD||n|3答案：
3
3
[解题通法]
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