利用平面的法向量求线面角时，应注意
(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求． (2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．
(3)求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值． [针对训练]
(2013·福建高考改编)如图，在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦6
值为，求k的值．
7
解：由题意知DC⊥AD，D1D⊥DC，D1D⊥AD故以D为原点，DA，DC，DD1的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)， 所以AC＝(－4k,6k,0)，AB1＝(0,3k,1)，AA1＝(0,0,1)．
?n＝0，?AC·
设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，则由?
n＝0，??AB1·
?－4kx＋6ky＝0，?
得?取y＝2，得n＝(3,2，－6k)． ?3ky＋z＝0.?
设AA1与平面AB1C所成角为θ，则
?AA1·n?6k6??＝sin θ＝|cos〈AA1，n〉|＝＝，解得k＝1，故所求k的值为1. 27?| AA|·?36k＋13|n|1??
角度四 求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α -l -β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，
CD 〉．
6
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α -l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．
例：1．(2012·北京东城模拟)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，1QA＝AB＝PD.
2
(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ； (2)求二面角Q－BP－C的余弦值．
解：(1)证明：如图，以D为坐标原点，DA、DP、DC所在的直线分别为x
轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.设DA＝1，则有D(0,0,0)，Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，
所以DQ＝(1,1,0)，DC＝(0,0,1)，PQ＝(1，－1,0)，
DC＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC. 所以PQ·DQ＝0，PQ·
又DQ?平面DCQ，DC?平面DCQ，且DQ∩DC＝D，
所以PQ⊥平面DCQ.又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. (2)由(1)易知B(1,0,1)，CB＝(1,0,0)，BP＝(－1,2，－1)．
?n·CB＝0，
设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则?
BP＝0，?n·
??x＝0，
即?可取n＝(0，－1，－2)． ?－x＋2y－z＝0，?
?BP＝0，?m·设m＝(x1，y1，z1)是平面PBQ的法向量，则?
PQ＝0，??m·
?－x1＋2y1－z1＝0，?15
即?可取m＝(1,1,1)．所以cos〈m，n〉＝－，
5?x－y＝0，?11
故二面角Q－BP－C的余弦值为－[解题通法]
15
. 5
利用法向量求二面角时应注意
(1)对于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求．
(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误．
(3)利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定．由图形知二面角
7
是锐角时cos θ＝
|n1·n2||n1·n2|
；由图形知二面角是钝角时，cos θ＝－.当图形不能确定时，要|n1||n2||n1||n2|
根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点． 针对练习
(2012·山西模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝23，BC＝6. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)求二面角P－BD－A的大小．
解：(1)证明：由题可知，AP、AD、AB两两垂直，则分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(23，0,0)，C(23，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，
∴AP＝(0,0,3)，AC＝(23，6,0)，BD＝(－23，2,0)，
AP＝0，BD·AC＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC. ∴BD·
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
BD(2)显然平面ABD的一个法向量为m＝(0,0,1)，设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·BP＝0.由(1)知，BP＝(－23，0,3)， ＝0，n·
y＝3x，???－23x＋2y＝0，
∴?整理得?23令x＝3，则n＝(3，3,2)， ?－23x＋3z＝0，??z＝3x.
∴cos〈m，n〉＝
m·n1
＝，∴结合图形可知二面角P－BD－A的大小为60°. |m||n|2
8