专题01
阅读与思考
质数那些事
一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：
?单位1?正整数?质数
?合数?关于质数、合数有下列重要性质：
1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4． 2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．
3．若质数p|ab，则必有p|a或p|b．
4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成k个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：
k12ikN= P1?P2???Pk，Pi为质数，ai为非负数(=1，2，3，?，)． 1P2?Pk，其中Paaa1正整数N的正约数的个数为(1＋a1)(1＋a1)?(1＋a1)，所有正约数的和为(1＋P1＋?＋P21)(1＋Pak＋?＋P22)?(1＋Pk＋?＋Pk)．
aa
例题与求解
【例1】已知三个质数a，b，c满足a＋b＋c＋abc=99，那么a?b?b?c?c?a的值等于_________________．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出a，b，c的值．
35【例2】若p为质数，p＋5仍为质数，则p＋7为( )
A．质数 B．可为质数，也可为合数 C．合数 D．既不是质数，也不是合数
(湖北省黄冈市竞赛试题)
解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．
【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．
(上海市竞赛试题)
解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．
【例4】⑴ 将1，2，?，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数n，求证：n一定是合数．
⑵ 若n是大于2的正整数，求证：2－1与2＋1中至多有一个质数．
⑶ 求360的所有正约数的倒数和．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明2－1与2＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．
【例5】设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且
nnnn112??，求x＋y的值． xyp解题思想：由题意变形得出p整除x或y，不妨设x?tp．由质数的定义得到2t－1=1或2t－1=p．由x≠y及2t－1为质数即可得出结论．
【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，?都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．
(青少年国际城市邀请赛试题)
解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．
能力训练
A级
221．若a，b，c，d为整数，a?b???c2?d2?=1997，则a2?b2?c2?d2=________．
2．在1，2，3，?，n这个n自然数中，已知共有p个质数，q个合数，k个奇数，m个偶数，则(q－m)＋(p－k)=__________．
3．设a，b为自然数，满足1176a=b，则a的最小值为__________．
(“希望杯”邀请赛试题)
4．已知p是质数，并且p6＋3也是质数，则p11－48的值为____________．
(北京市竞赛试题) )
35．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( A．4 B．8 C．12 D．0 6．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
(“希望杯”邀请赛试题)
7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有( )
A．1个 B．3 个 C．5个 D．6 个
(“希望杯”邀请赛试题)
8．设p，q，r都是质数，并且p＋q=r，p 9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数． (上海市竞赛试题) 10．在黑板上写出下面的数2，3，4，?，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由． (五城市联赛试题) 11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm规格的地砖，恰用n块，若选用边长为ycm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x，y，n都是正整数，且(x，y)=1，试问这块地有多少平方米？ (湖北省荆州市竞赛试题) B级 1．若质数m，n满足5m＋7n=129，则m＋n的值为__________． pp?qq2．已知p，q均为质数，并且存在两个正整数m，n，使得p=m＋n，q=m×n，则nm?nm的值为__________． 3．自然数a，b，c，d，e都大于1，其乘积abcde=2 000，则其和a＋b＋c＋d＋e的最大值为__________，最小值为____________． (“五羊杯”竞赛试题) 4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_______________． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 5．若a，b均为质数，且满足a＋b=2 089，则49b－a=_________． A．0 B．2 007 C．2 008 D．2 010 (“五羊杯”竞赛试题) 2211 6．设a为质数，并且7a＋8和8a＋7也都为质数，记x=77a＋8，y=88a＋7，则在以下情形中，必定成立的是( ) A．x，y都是质数 C．x，y一个是质数，一个是合数 B．x，y都是合数 D．对不同的a，以上皆可能出现 (江西省竞赛试题) 7．设a，b，c，d是自然数，并且a?b?c?d，求证：a＋b＋c＋d一定是合数． (北京市竞赛试题) 2222 8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足： ⑴ 6个数中任意两个都互质； ⑵ 6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由． 9．已知正整数p，q都是质数，并且7p＋q与pq＋11也都是质数，试求pq?qp的值． (湖北省荆州市竞赛试题) 10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，?，40，41这41个自然数，问： (l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？ (2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由． 专题01 质数那些事 例1 34 例2 C 例3 3符合要求 提示：当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，显然p＋14是合数，当p=3k ＋2时，p＋10=3(k＋4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意． 例4 （1）因1＋2＋?＋2004= 1×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这20042个数的顺序，所得数都有3这个约数． （2）因n是大于2的正整数，则2－1≥7，2－1、2、2＋1是不小于7的三个连续的正整数， 其中必有一个被3整除，但3不整除2，故2－1与2＋1中至多有一个数是质数． nnnnnnn