（3）设正整数a的所有正约数之和为b，d1，d2，d3，?，dn为a的正约数从小到大的排列，
于是d1=1，dn=a．由于S?1111中各分数分母的最小公倍数dn=a，故???????d1d2d3dnS=
dndn?1dd?d2????dnb2332=，而a=360=2?3?5，故b=（1＋2＋2＋2）×（1?????1=1adndndndn2＋3＋3）×（1＋5）=1170．例5 由
b11701==3． a3604x?y22xy=，得x＋y==k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故pxyptp为整数．又t与2t－1互质，故2t－1整除p，2t?1p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=
p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；若2t－1=p，则
x?y2=，pxy2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x＋y为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=因数p．令x=ap，ay=
p?x?y?必有某数含
2ap?yap，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p22a?12p?1p?1p?p?1?p?p?1?p?1?p?1??p=是质数，则2a－1=p，a=，故x=，∴x＋y=＋=。 222222例6 设N是一个同时含有数字1，3，7，9的绝对质数．因为k0=7931，k`=1793，k2=9137，k3=7913，
k4=7193，k5=1937，k6=7139除以7所得余数分别为0，1，2，3，4，5，6．故如下7个正整数： N0?C1C2???Cn?47931=LL?104?k0， N1?C1C2???Cn?41793=LL?10?k1， ?
N6?C1C2???Cn?47139=LL?104?k6，
其中，一定有一个能被7整除，则这个数就不是质数，故矛盾．
4A级
1．1998 2．－1 3．63 4．2000 5．D 6．A 7．B
8．由r=p＋q可知r不是最小的质数，则为奇数，故p，q为一奇一偶，又因为p＜q．故p既是质数又
是偶数，则p=2．
9．设十个连续合数为k＋2，k＋3，k＋4，?，k＋10，k＋11，这里k为自然数，则只要取k是2，3，4，?，
11的倍数即可．
10．选甲．提示：相邻的两个自然数总是互质数，把相邻自然数两两分为一组，这两数总是互质的，（2，
3），（4，5），（6，7），?，（1992，1993），1994，甲擦掉1994，无论乙擦哪一个数，甲就擦那一组的另一数，以此类推，最后还剩一对互质数． 11．设这块地面积为S，则S=nx=（n＋124）y2． ∴nx2?y2=124y2 ∵x＞y （x，y）=1
∴（x，y2）=1 （x2?y2，y2）=1 得x2?y2｜124 ∵124=2×31，x?y=（x＋y）（x－y） ∴?22??222?x?y?31?x?y?62，或?
?x?y?1?x?y?2∴??x?16?x?32，或?（舍）
?y?15?y?30124y2此时n=2=900．
x?y2∴S=nx=900×16=230400cm=23．04m。
2222B级
1．19或25 2．
31 提示：q=mn，则m、n只能一个为1，另一个为q． 33．133 23 4．2001
5．B 提示：唯有a=2，b=2089－2=2089－2048=41是质数，符合题意．
6．A 提示：当a=3时，符合题意；当a≠3时，a被3处余1，设a=3n＋1，则7a＋8=21n＋15，
8a＋7=24n＋15，它们都不是质数，与条件矛盾．故a=3． 7．a－a，b－b，c－c，d－d都是偶数，即M=a?b?c?d22222222222222222211?2222?－（a＋b＋c＋d）是偶数．因
??2222为a?b=c?d，所以a?b?c?d=2（a?b）是偶数，从而有a＋b＋c＋d=a?b?c?d－M=2（a?b）－M，它 一定是偶数，但a＋b＋c＋d＞2，于是a＋b＋c＋d是个合数．
8．取六个数ai＝i×(1×2×3×4×5×6)＋1 (i＝1，2，?，6)，则其中任意两个数都是互质的，事实上，假设a2与a5不互质，设d是a2与a5的最大公约数，则d必是(5－2)×1×2×3×4×5×6，即3×1×2×3×4×5×6的一个因子，但从a2＝2×1×2×3×4×5×6＋1知，d不整除a2，这与假设d是a2与a5的最大公约数矛盾，故a2与a5互质．
9．由pq＋11＞11且pq＋11是质数知，pq＋11必为正奇数，从而p＝2或q＝2． (1)若p＝2，此时7p＋q及2q＋11均为质数．设q＝3k＋1，则q＋14＝3(k＋5)不是质数；设q＝3k＋2，则2q＋11＝3(2k＋5)不是质数，因此q应为3k型的质数，当然只能是q＝3．
(2)若q＝2，此时7p＋q与2p＋11均为质数，设p＝3k＋1，则7p＋2＝3(7k＋3)不是质数；设p＝3k＋2，则2p＋11＝3(2k＋5)不是质数，因此，p应为3k型的质数，p＝3． 综合(1)，(2)知p＝3，q＝2 或p＝2，q＝3，所以pq十qp ＝17．
10．(1)能办到 提示：注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然它们只能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列：不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，?，41，在每两数之间留空，然后将所有的偶数依次反序插在各空白中，得1，40，3，38，5，36，7，34，?，8，35，6，37，4，39，2，41.这样任何相邻两数之和都是41或43.满足题目要求．
(2)不能办到 提示：若把1，2，3，?，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶．但现有20个偶数，21个奇数，总共是41个号码，由此引出矛盾，故不能办到，
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