图2 假设我们向
中进行随机投点.若点落在下方（即
）称为中的，否则称不中.则点中的概率为
我们进行
次投点，其中
，若
次中的.则可以得到的一个估计该方法的具
体计算步骤为： ① 独立地产生2个 ② 计算 ③ 统计
随机数， 的个数
；
,
,i=1,…,n； ，和
；
④ 用（3）估计.
例1：1777年，法国学者Buffon提出用试验方法求圆周率理如下：
假设平面上有无数条距离为1的等距平行线，现向该平面随机地投掷一根长度为
的针.则我们可以计算该针与任一平行线相交的概率.
的值.原
此处随机投针可以这样理解：针中心与最近的平行线间的距离x均匀地分布在区间
上，针与平行线间的夹角（不管相交与否）均匀地分布
5
在区间上（如图1）.于是，针与线相交的充要条件是，从
而针线相交概率为：
图1
而由大数定律可以估计出针线相交的概率，其中为掷针次
数，为针线相交次数，从而圆周率.其mathematical实现语句
见附录1.
2.2 样本平均值法 对积分
，设
是
上的一个密度函数，改写
由矩法，若有个来自便是样本平均值法的基本原理.
（4）
的观测值，则可给出的一个矩估计，这
若，有限，可取
6
.设是来自的随机
数，则的一个估计为
该方法的具体计算步骤为： ① 独立地产生个 ② 计算
③用（5）估计.
随机数和
（5）
； ，
；
后面将给出一个例子说明此方法的应用. 3 Monte Carlo方法在计算多重积分中的应用
方法一： 其中有：
空间长方体V：
为S维单位立方体，
（重积分）（7） ，在
上维
.很明显.此时积分（5）可以看作为求
的体积.即：
（8）
对于这种较为一般形式的多重积分计算问题，采用的还是随机投点. 具体步骤如下： 首先产生向量 论.检验
个随机数
（i=1,2,…，
）及，构造
维随机
，然后检验是否落后在V中，同理可以推是否成立，如果在构成的
7
个随机向量中，
有个随机向量落于V中，那么取作为积分的近似值，即，
如果积分区域及被积函数不满足上述条件，那么可以通过变换便可达到所希望的条件.
方法二： 其中积分区域
包含在
.
设函数
，
的随机质点的个数，是在
在是在
维多面体中，此多面体决定于
个不等式
内连续且满足条件：维多面体
中均匀分布维区域V为底以
个随机点之中落入以
为顶之曲顶柱体内的随机点的个数. 这里
表示由不等式面体.则
和
决定的
维多
重积分的Monte Carlo近似计算公式为：
=
，
（9）
，
例2：在三维空间中，由三个圆柱面：
围成一个立体，利用Monte Carlo方法求它的体积。
分析：据题意，所求体积
,其中
，
8
{，且，
，
记
}.
，
，
},考虑在空间
内
随机的产生个点，落在空间内有个，则.在
Mathematical中模拟程序见附录2. 4 在古典概率问题中的应用
下面的例子说明了Monte Carlo方法在古典概率中的应用. 例3：甲乙两位棋手棋艺相当，现他们在一项奖金为1000元的比赛中相遇，比赛为五局三胜制，已经进行了三局的比赛，结果为甲三胜一负，现因故要停止比赛，问应该如何分配这1000元比赛奖金才算公平？ 分析：平均分对甲欠公平，全归甲则对乙欠公平.合理的分法是按一定的比例分配.
现在我们用计算机模拟两位棋手后面的比赛，是否就可以知道奖金分配方案.由于两位棋手的棋艺相当，可以假定他们在以下每局的比赛胜负的机会各半.Mathematical中函数产生随机数0或1，0与1出现的机会各占一半，可以用随机数1表示甲棋手胜，而随机数0表示乙胜.（也可以用
中的随机实数来模拟两人的胜负，随机数大于0.5表示甲胜，否则
乙胜）连续模拟1000次（或更多次数）每次模拟到甲乙两方乙有一方胜了三局为止.按所说方案分配奖金，1000次模拟结束后，计算两棋手每次的平均奖金，就是该棋手应得的奖金.
模拟结果：甲：750，乙：250（程序见附录1）
最终以甲分到；乙分到.即甲750元，乙250元.
实际上，因为比赛只需进行两局.则可分出胜负.结果无非是以下四种
9