情况之一：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙.上面四种情况可看出，甲获胜的概
率为，乙获胜的概率为.在Mathematical中模拟程序见附录2.
5 误差分析 5.1 收敛性
蒙特卡罗方法是由随机变量
的简单子样
的算术平均
值：作为所求解的近似值.由大数定律可知，如
< ∞），则
.
独立同分布，且具有有限期望值（即随机变量
的简单子样的算术平均值
.
，当子样数Ｎ充分大时，以概
率1收敛于它的期望值 5.2 误差
蒙特卡罗方法的近似值与真值的误差问题，概率论的中心极限定理给出了答案.该定理指出，如果随机变量序列布，且具有有限非零的方差
是
，即
，
，…，
独立同分
的分布密度函数.则
当N充分大时，有如下的近似式
其中
称为置信度，1－
称为置信水平.这表明，不等式
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近似地以概率1－
.
成立，且误差收敛速度的阶为
通常，Monte Carlo方法的误差ε定义为
上式中
与置信度α是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水
.
平后，查标准正态分布表，就可以确定出
关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的.第二，误差中的均方差
是
未知的，必须使用其估计值算所求量的同时，可计算出
.
来代替，在计
例4：求用平均值法估计圆周率0.01的情况下所需的试验次数.
，并考虑置信度为5%，精度要求为
解：易知，故考虑令～，令
，其期望值为，因此
=，其中是[0，1]区间上均匀分布的随机数.
11
此时，
，
，
，所以
5.3 减小方差的各种技巧
（次）.
显然，当给定置信度α后，误差ε由σ和N决定.要减小ε，或者是增大N，或者是减小方差
.在
固定的情况下，要把精度提高一个数
量级，试验次数N需增加两个数量级.因此，单纯增大N不是一个有效的办法.
另一方面，如能减小估计的均方差σ，比如降低一半，那误差就减小一半，这相当于N增大四倍的效果.因此降低方差的各种技巧，引起了人们的普遍注意.
一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个子样的时间增加.在固定时间内，使观察的样本数减少.所以，一种方法的优劣，需要由方差和观察一个子样的费用（使用计算机的时间）两者来衡量.这就是蒙特卡罗方法中效率的概念.它定义为用.显然
，其中c 是观察一个子样的平均费
越小，方法越有效.
总的来说，增大样本的值对计算机要求较高；减小方差的技巧都只具有指导思想上的意义.对于实际的计算问题，往往要求对涉及的随机变量有先验的了解，或者对发生的物理过程的性态有一定的认识.通过利用这些预知的信息采取相应的手段减小误差，提高精度.
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附录：1.（1） n=1000;p={}
Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[]; If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}]; Append To[p,N[4m/n]],{t,1,10}]; Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10 （2） n=10000;p={}
Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[]; If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}]; Append To[p,N[4m/n]],{t,1,10}]; Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10 （3） n=100000;p={}
Do[m=0;Do[x=Random[];y=Random[]; If[x^2+y^2<=1,m++],{k,1,n}]; Append To[p,N[4m/n]],{t,1,10}]; Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10 2. n=1000;p={} Do[m=0;
Do[x=Random[Integer]+2;y=Random[Integer]+1; If[x>y,m++],{k,1,n}]; Append To[p,N[m]],{t,1,20}] Print[m];
{Sum[p[[t]],{t,1,20}]/20,1000-Sum[p[[t]],{t1,20}]/20}
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参考文献
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[7] 杨自强.你也需要蒙特卡罗方法———提高应用水平的若干技巧[J]. 数理统计与管理, 2007,27(2):355-376.
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