如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值．
24. （本题满分10分） 如图，抛物线
经过A（﹣3，0），C（5，0）两点，点B为抛物
线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，过点P作PM⊥BD，交BC于点M，以PM为正方形的一边，向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长NM交AC于点E． ①当t为何值时，点N落在抛物线上；
②在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由．
25．（本题满分12分）
提出问题：爸爸出差回家带了一个分布均匀的等腰三角形蛋糕礼物给儿子（如图1，AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，双胞胎儿子大毛和小毛决定只切一刀将这块蛋糕平分吃（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．
背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”． 尝试解决：
（1）大毛很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮大毛在图1 中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕． （2）小毛觉得大毛的方法很好，所以自己模仿着在蛋糕上过点C 画了一条直线CD 交AB 于点D．你觉得小毛会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（用图2 说明）
（3）若AB=BC=5cm，AC=6cm，如图3，你能找出几条△ABC 的“等分积周线”，请分别画出，并简要说明确定的方法．
参考答案
1． B 2． B 3． C 4. C
5． C【魔方解析】先根据两直线平行，内错角相等，求出∠CBA，然后根据角平分线性质求解即可．
6． B【魔方解析】通过分析直方图得到不低于29分的人数，全班共人数，根据频率=频数数据总和计算频率．
7． D【魔方解析】由两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得另一圆的半径． 8． B【魔方解析】由反比例函数图象可知，当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大，由
此进行判断．
9． A【魔方解析】根据平行四边形的性质可得到BE∥AD，AD=BC，进而得到△BFE∽△DFA，再根据相似三角形的性质可判断①错误，②正确；
根据等腰梯形的判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形可判定③正确；
根据等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上两个角相等可判定∠ADC=∠DAE，再根据平行线的性质可得到∠AEB=∠DAE，进而可判定④正确．
10． B【魔方解析】由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标（0，1）以及A的坐标，然后代入函数式，即可得到答案． 11．x＞1
12． 32°【魔方解析】先根据平行线的性质得出∠ABM的度数，再由三角形内角和定理求出∠2的度数即可．
13．如果a、b、c是一个三角形的三条边，并且a?b?c，那么这个三角形是直角三角形．
2
14. A: y=-x+2x+3;B: （-1，4）. 【魔方解析】A、求出旋转前的函数图象的顶点坐标，再求出旋转后的图象的顶点坐标，然后利用顶点式函数解析式写出即可； B、联立两函数解析式，解关于x、y的二元一次方程组即可得到点P的坐标． 15. （3，0）【魔方解析】一次函数y=2x-6与y=-x+3的图象的交点坐标，即是以这两个一次函数的解析式为方程组的解． 16．1【魔方解析】如图，连接DE． 设AC=x，则BC=2﹣x，
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形， ∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=∴∠DCE=90°，
故DE=DC+CE=x+（2﹣x）=x﹣2x+2=（x﹣1）+1， 当x=1时，DE取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1． 故答案为：1．
2
2
2
2
2
2
2
2
222，CE=（2﹣x），
17. 解答：x6＝+1． x?1(x?1)(x?1)方程两边都乘以（x+1）（x-1），去分母，得 x（x+1）=6+（x+1）（x-1）．
22
去括号，得x+x=6+（x-1）． 解得x=5．
检验：当x=5时，（x+1）（x-1）=24≠0． ∴原方程的解是x=5．
18. （1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAF=∠ACE；
∵∠DFC=∠AEB，∴∠DFA=∠AEC； ∴△ADF∽△CAE； （2）解：由（1）知：△ADF∽△CAE， ∴ADCA= AFCE； ∵AD=8，DC=6，∠ADC=90°， ∴AC= 8?6=10； 22又F是AC的中点，∴AF= ∴1AC=5； 281025= ，解得CE= ； 5CE425； 2125213×（+8）×6= ． 222∵E是BC的中点， ∴BC=2CE= ∴直角梯形ABCD的面积= 19. 解答：（1）200；
（2）200?120?50?30（人）．画图正确．
人数
120
120 100
50 50 30
A级 B级 C级 学习态度层级 （3）C所占圆心角度数?360°?(1?25%?60%)?54°．
（4）80000×（25%+60%）=68000
∴估计我市初中生中大约有68000名学生学习态度达标．
20.解答：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝(x＋100)m． 在Rt△AEC中，tan∠CAE＝∴
xCE，即tan30°＝ AEx?100x3，3x＝3(x＋100) ?x?1003解得x＝50＋503＝136.6
∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m) 答：该建筑物的高度约为138m． 21. 解答：（1）因为购买大型客车x辆，所以购买中型客车(20?x)辆． y?62x?40?20?x??22x?800．
（2）依题意得20?x< x. 解得x >10．
∵ y?22x?800，y随着x的增大而增大，x为整数，
∴ 当x=11时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． 此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．
答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1 042万元． 22. 解答：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，故P（所画三角形是等腰三角形）= （2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果： 1； 4
∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形， ∴所画的四边形是平行四边形的概率P= 故答案为：（1）1． 311，（2）． 4323. 解答：（1）CD与⊙O相切．
理由：连接OD， ∵∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°， 即OD⊥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴OD⊥CD，
∵AB为直径的圆O经过点D， ∴CD与⊙O相切；
（2）过点O作OF⊥AE，连接OE， 则AF=AE=×10=5（cm）， ∵OA=OE， ∴∠AOF=∠AOE， ∵∠ADE=∠AOE， ∴∠ADE=∠AOF， 在Rt△AOF中，sin∠AOF=∴sin∠ADE=．
=，