行列式及其计算
行列式的定义：
a11方法一：n阶行列式Dn?a12a22...an2...a1n...a2n.........ann?p1p2...pna21...an1?(?1)?(p1p2...pn)a1p1a2p2...anpn
（1）n阶行列式是n!项的代数和；（2）每一项是取自不同行不同列的n个元素的乘积
a1p1a2p2...anpn（p1p2....pn是1,2,?,n的一个排列）；（3）当p1p2....pn是偶排列时, a1p1a2p2...anpn带正号, 当p1p2....pn是奇排列时, a1p1a2p2...anpn带负号.
方法二：定义二阶行列式D2=a11a21a12a22=a11a22-a12a21，假设我们已经定义了n?1阶
a11行列式，称由n行n列n个数构成的D?2a12a22...an2...a1n...a2n.........ann为n阶行列式.定义D的值
a21...an1为：D?a1n(?1)1?nM1n?a2n(?1)2?nM2n???ann(?1)n?nMnn
?a1nA1n?a2nA2n???annAnn. 其中Mij是D?aijn中划去元素aij所在的第i行与第j列，剩下的(n?1)个元素按
2原来的排列顺序构成一个n?1级行列式，称其为?i,j?位置元素aij的余子式，
Aij?(?1)i?jMij称为元素aij的代数余子式. 行列式的性质与展开
行列式的性质
1.行列式D与其转置行列式D相等(即D?D).
2.交换行列式的两行(或列),行列式改变符号（即D??D或D??D）. 3.行列式中某行(或列)的公因子可以提到行列式符号外面做因子.
1ri?(k?0)k1ci?(k?0)kTTri?rjci?cj（即D?kD1（或D?kD1）
1
4.n阶行列式D可以按第i行(或列)拆成两个行列式D1与D2的和，即D?D1?D2.其中
D的第i行(或列)为D1与D2的第i行(或列)的和；D，D1，D2的其余各行(或列)对应元
素则同的完全一样.
5.把行列式某一行(或列)的元素同乘一数后加到另一行(或列)的对应位置元素上,行列式的值不变.（即D?D1或D?D1） 行列式的展开
1. n阶行列式D的某行（或列）元素与对应元素的代数余子式乘积之和为D. 2.行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为0.
即ai1Ak1?ai2Ak2???ainAkn??ri?krjci?kcj?D(i?k)
?0(i?k)?D(j?t)a1jA1t?a2jA2t???anjAnt???
0(j?t)?行列式计算的常用方法及注意事项：
1.（1）利用性质将行列式化为三角形行列式（三角形行列式的值等于对角线元素之积）. （2）利用依行、依列展开转化为低阶行列式的计算（或给出递推公式、或利用数学归纳法）. （3）化简与展开同时进行（先化简，再按零较多的行（或列）展开）. 行列式化简时注意
1.尽量避免分数运算；2.展开时注意代数余子式与余子式相差的的符号(?1)i?j.
概念题
5x例1.求D4?1215xx1x2x1213232x的展开式中的常数项 及x 、x的系数
4
x1x?3x1322x323，
解：D4=f(x)=-3x122x 2
0123展开式中的常数项为f(0)=001212030120123120003120=012=012=30112=-3
x4的系数为-30，含x3的项为(-1)t(2134)1创xx?2x为7
(-1)t(4231)3?(3x)创xx，系数
3例2.求行列式
023420020，则第4行各元素余子式之和
250?7?22解：M41+M42+M43+M44=-A41+A42-A43+A44
3=20-102-71420020=-28
-11注意：aij的代数余子式与aij所在位置?i,j?有关，而与aij的取值无关。
a11Dn?a21...an1a12a22...an2...a1n...a2n.........ann，则
b1Ak1?b2Ak2???bnAkn?D1，D1是用b1,b2,?,bn换Dn的第k行得到的行列式的值； b1A1k?b2A2k???bnAnk?D2，D2是用b1,b2,?,bn换Dn的第k列得到的行列式的值.
行列式计算
利用性质化简、展开：
3例1 计算行列式D=2011100
-1161-310-2行列式中的元素如果都是整数，则行列式的值一定是整数.
3
11211-1例2.计算D=31211
31-112-110123112r4303r1++r23解：D=1-12222r43331212-11=116041212-11=-112164-3201-3201-321rr1-3r313-302-4r=3-11213-20=-113-313-3211213-2=-12
1112111211-1774如果直接化简31210D=63311=51。。。。。。很麻烦. 31-1206-436-11013320212在行列式计算中尽量避免分数计算.
12Ln-2n-1n23Ln-1nn例3：计算：D34Lnnnn=LLLLLL
n-1nLnnnnnLnnn12Ln-2n-1nr11L110(kk-=rnk-,n1解：D11L100n=-1,L,2)n(n-1)LLLLLL=(-1)2n
11L00010L000利用拆行或拆列
4
ax?by例：1.ay?bzay?bzaz?bxax?byayaz?bxay?bzazay?bzzay?bzzyr2?br3xzbyyzxbzzx ybxay?bzyaxzayyzxzx yax?by?(a3?b3)yaz?bxax左式?ay?bzaz?bxax?by?ay?bzaz?bxax?by?D1?D2
az?bxax?byxD1?aay?bzyaz?bxaz?bxax?byr3?br1xazax?by?aay?bzaz?bxax?byaz?bxax?byx?a2ay?bzzyxxzyxzyxzaz?bxax?by?a2ayazax?a3yy类似有D2?bz3zxyxzy?(?1)2yzaz?bxay?bzr1?r3r2?r3xyzxzx, yxzyzxzx yxax?by所以ay?bzay?bzaz?bxax?byax?by?(a3?b3)yaz?bxa?xa?ya?z2.b?xb?yc?yc?xb?z c?zb2?c23.
abc2?a2bccabca2?b2
abca利用公式AB=AB计算行列式.（其中A，B是数域上的n阶方阵）
b?c例1 证明：b1?c1c?ac1?a1c2?a2a?ba2?b2a?ba2?b2aa2bb1b2aa2bb1b2cc1 c2aa2bb1b2cc1. c2a1?b1?2a1b2?c2b?c证明b1?c1c?ac1?a1c2?a2c011c2110a1?b1?a1c1101?2a1b2?c2 5