质点力学综合练习2
三、计算题
1、（0080B30）
某弹簧不遵守胡克定律. 设施力F，相应伸长为x，力与伸长的关系为 F＝52.8x＋38.4x2（SI）求：
(1)将弹簧从伸长x1＝0.50 m拉伸到伸长x2＝1.00 m时，外力所需做的功．
(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x2＝1.00 m，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x1＝0.50 m时，物体的速率．
(3)此弹簧的弹力是保守力吗？ 2、(0047C45) C一条长为l，质量均匀分布的细链条AB，挂在半径可忽略的光
l-L31L滑钉子C上，开始时处于静止状态，BC段长为L (l?L?l)，
22A2B释放后链条将作加速运动．试求：当BC?l时，链条的加速度
3
和运动速度的大小．
v (m/s)3、（0199C60）
B (4,14,8) 一辆质量为m = 4 kg的雪橇，沿着与水平面夹角? =36.9°的斜15坡向下滑动，所受空气阻力与速度成正比，比例系数k未知．今测10t (s)得雪橇运动的v－t关系如图曲线所示，t = 0时，v0 = 5 m/s，且曲线5O246在该点的切线通过坐标为(4 s，14.8 m/s)的B点，随着时间t的增加， v趋近于10 m/s，求阻力系数k及雪橇与斜坡间的滑动摩擦系数?． ( sin36.9°= 0.6，cos36.9°=0.8) 4、（0226C60）
???? 一质量为M的楔形物体A，放在倾角为??的固定光滑斜面上，
m在此楔形物体的水平表面上又放一质量为m的物体B，如图所BMA示．设A与B间，A与斜面间均光滑接触．开始时，A与B均处
????于静止状态，当A沿斜面下滑时，求A、B相对地面的加速度． ? 5、（0299B40）
???2 一质量为2 kg的质点，在xy平面上运动，受到外力F?4i?24tj (SI)的作用，t
???= 0时，它的初速度为v0?3i?4j (SI)，求t = 1 s时质点
?的速度及受到的法向力Fn. m2m1A6、（0300C70） B 一细绳两端分别拴着质量m1 = 1 kg，m2 = 2 kg的物体
??A和B，这两个物体分别放在两水平桌面上，与桌面间的
摩擦系数都是? =0.1．绳子分别跨过桌边的两个定滑轮吊着一个动滑轮，动滑轮下吊着质量m3 = 1 kg的物体C，如
C图所示．设整个绳子在同一平面内，吊着动滑轮的两段绳
m3子相互平行．如绳子与滑轮的质量以及滑轮轴上的摩擦可
以略去不计，绳子不可伸长，求A、B、C相对地面加速度???a1、a2、a3的大小． (取g = 10 m/s2 )
7、（0360B30）
Av0 质量为m的物体A（体积不计），以速度v0在光滑平
台C上运动并滑到与平台等高的、静止的、质量为M的平
BC板车B上，A、B间的摩擦系数为??．设平板小车可在光滑的平面D上运动，如图所示．要使A在B上不滑出去，则
D平板小车的长度l至少为多少？ l 8、（0450B25）
一木块恰好能在倾角? 的斜面上以匀速下滑，现在使它以初速率v0沿这一斜面上滑，问它在斜面上停止前，可向上滑动多少距离？当它停止滑动时，是否能再从斜面上向下滑动？ 9、（0451C60） l3l1 质量m =10 kg、长l =40 cm的链条，放在光滑的水平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为m1 =10 kg
m1l2的物体，如图所示．t = 0时,系统从静止开始运动, 这时l1 = l2 =20 cm< l3．设绳不伸长，轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩
擦不计，求当链条刚刚全部滑到桌面上时，物体m1速度和
加速度的大小． 10、（0096B35）
在光滑水平面上有一弹簧，其一端固定于光滑的轴承O上，另一端栓一个质量为m = 2 kg的小球，弹簧的质量很小，原长很短，两者都可以忽略不计．当小球沿半径为r (单位为m)的圆周作匀速率圆周运动时，弹簧作用于质点上的弹性力大小为 3r (单位为N)，此时系统的总能量为12 J．求质点的运动速率及圆轨道半径． 11、（0168C45）
如图所示装置，光滑水平面与半径为R的竖直光滑半
C?圆环轨道相接，两滑块A、B的质量均为m，弹簧的劲度
O?系数为k，其一端固定在O点，另一端与滑块A接触．开A始时滑块B静止于半圆环轨道的底端．今用外力推滑块A，
Bx使弹簧压缩一段距离x后再释放．滑块A脱离弹簧后与BO
作完全弹性碰撞，碰后B将沿半圆环轨道上升．升到C点与
L轨道脱离，O＇C与竖直方向成
? =60°角，求弹簧被压缩的距离x． aO12、（0218C60）
用一根长度为L的细线悬挂一质量为m的小球，线所能
C承受的最大张力为T = 1.5 mg．现在把线拉至水平位置然后由
静止放开，若线断后小球的落地点C恰好在悬点O的正下方，如图所示．求高度OC之值．
?13、（0340B25）
一光滑半球面固定于水平地面上，今使一小物块从球面
顶点几乎无初速地滑下，如图所示．求物块脱离球面处的半
径与竖直方向的夹角??． 14、（0346B35）
在以加速度a向上运动的电梯内，挂着一根劲度系数为k的轻aA弹簧，弹簧下面挂着一质量为M的物体，物体处于A点，相对于电M梯速度为零，如图所示．当电梯的加速度突然变为零后，电梯内的
观测者看到Ｍ的最大速度是多少？ 15、（0489B30）
C 质量为m的小球在外力的作用下，由静止开始从A点出发作
匀加速直线运动，到达B点时撤消外力，小球无摩擦地冲上一半RO径为R的竖直半圆环，恰好能到达最高点C，而后又刚好落到原A来的出发点A处，如图所示．试求小球在AB段运动的加速度的B 大小． 16、（0490B30）
B 一悬线长l = 1 m，上端固定在O点，下端挂一小球，如图所示．当
O?小球在最低位置A时，给以水平方向的初速度v0，当悬线与OA成 l120°??120°角时小球脱离圆周，求v0的大小．如果要小球不脱离圆周，则v0A v 0至少为多大？ 17、（0492B30）
A 弹簧原长等于光滑圆环半径R．当弹簧下端悬挂质量为m的小环状重物时，弹簧的伸长也为R．现将弹簧一端系于竖直放置的圆环上顶点A，将重物套在圆环的B点，AB长为 1.6R，如图所示．放手RB后重物由静止沿圆环滑动．求当重物滑到最低点C时，重物的加速度和对圆环压力的大小．
C 18、（0174B40）
质量为M的人，手执一质量为m的物体，以与地平线成? 角的速度v0向前跳去．当他达到最高点时，将物体以相对于人的速度u向后平抛出去．试问：由于抛出该物体，此人跳的水平距离增加了多少？(略去空气阻力不计) 19、（0186C45）
L 如图所示，一辆质量为M的平顶小车在光滑水平轨道上作
A直线运动，速度为v0．这时在车顶的前部边缘Ａ处轻轻放上一
MM质量为m的小物体，物体相对地面的速度为零．设物体与车顶v0之间的摩擦系数为?，为使物体不致于从顶上滑出去，问车顶的 长度L最短应为多少？ 20、（0369B30）
三艘质量相等的小船鱼贯而行，速度均为v．现在从中间那艘船上同时以相对于船的速度u把两个质量均为m的物体分别抛到前后两艘船上，速度u的方向与速度v在同一直线上．问抛掷物体后，这三艘船的速度各如何？ A21、（0397C60）
如图，一浮吊质量M =20 T，由岸上吊起m = 2 T的重
?物后，再将吊杆AO与铅直方向的夹角? 由60°转到30°，
mO设杆长l = OA = 8 m，水的阻力与杆重忽略不计，求浮吊在M水平方向上移动距离，并指明朝哪方面移动．
22、（0452B30）
如图，水平地面上一辆静止的炮车发射炮弹．炮车质量m为M，炮身仰角为? ，炮弹质量为m，炮弹刚出口时，相对?于炮身的速度为u，不计地面摩擦：
(1) 求炮弹刚出口时，炮车的反冲速度大小；
(2) 若炮筒长为l，求发炮过程中炮车移动的距离．
23、（0167C55）
如图，光滑斜面与水平面的夹角为? = 30°，轻质弹簧上端
k固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M = 1.0 kg的木块，
则木块沿斜面向下滑动．当木块向下滑x = 30 cm时，恰好有一m质量m = 0.01 kg的子弹，沿水平方向以速度v = 200 m/s射中?x 木块并陷在其中．设弹簧的劲度系数为k = 25 N/m．求子弹打
入木块后它们的共同速度． 24、（0170B35） l 有一门质量为M (含炮弹)的大炮，在一斜面上无摩擦地由静止开始下滑．当滑下l距离时，从炮内沿水平方向射出一发质量为m的炮弹．欲使炮车在发射炮弹后的瞬时停止滑动，? 炮弹的初速v（对地）应是多少？(设斜面倾角为? )．
25、（0171B40）
水平小车的B端固定一轻弹簧，弹簧为自然长
k度时，靠在弹簧上的滑块距小车A端为L = 1.1 m．已B (左)LmA (右)知小车质量M =10 kg，滑块质量m =1 kg，弹簧的劲度系数k = 110 N/m．现推动滑块将弹簧压缩?l
=0.05 m并维持滑块与小车静止，然后同时释放滑
A块与小车．忽略一切摩擦．求：
B (1) 滑块与弹簧刚刚分离时，小车及滑块相对地的速度
P各为多少？
O (2) 滑块与弹簧分离后，又经多少时间滑块从小车上掉LA下来？ LB 26、（0180B25）
如图所示，质量为mA的小球A沿光滑的弧形轨道滑下，与放在轨道端点P处(该处轨道的切线为水平的)的静止小球B发生弹性正碰撞，小球B的质量为mB，A、B两小球碰撞后同时落在水平地面上．如果A、B两球的落地点距P点正下方O点的距离之比LA / LB =2/5，求：两小球的质量比mA /mB． 27、（0183C65）
两个质量分别为m1和m2的木块A和B，用一个质量忽略
m1km2不计、劲度系数为k的弹簧联接起来，放置在光滑水平面上，AB 使A紧靠墙壁，如图所示．用力推木块B使弹簧压缩x0，然后
释放．已知m1 = m，m2 = 3m，求： (1) 释放后，A、B两木块速度相等时的瞬时速度的大小； (2) 释放后，弹簧的最大伸长量．
?28、（0191B40）
v0M 如图所示，在地面上固定一半径为R的光滑球面，球面顶点Am?A处放一质量为M的滑块．一质量为m的油灰球，以水平速度v0射?向滑块，并粘附在滑块上一起沿球面下滑．问： O R (1) 它们滑至何处( ? = ?)脱离球面？
(2) 如欲使二者在A处就脱离球面，则油灰球的入射速率至少为多少？ 29、（0204B35）
设想有两个自由质点，其质量分别为m1和m2，它们之间的相互作用符合万有引力定律．开始时，两质点间的距离为l，它们都处于静止状态，试求当它们的距离变为1l2时，两质点的速度各为多少？ 30、（0205C40）
m1 质量分别为m1和m2的两个滑块A和B，分别穿于两条平行且水平的光滑导杆上，二导杆间的距离为L，再以一劲度系m2ABL数为k、原长为L的轻质弹簧连接二滑块，如图所示．设开始
时滑块A与滑块B之间水平距离为l，且两者速度均为零，求释放后两滑块的最大速度分别是多少？ l 31、（0208C50）
如图所示，在光滑水平面上有一质量为mB的静止物体B，
?A vA在B上又有一个质量为mA的静止物体A．今有一小球从左边
?射到A上被弹回，此时A获得水平向右的速度vA（对地），B 并逐渐带动B，最后二者以相同速度一起运动。设A、B之间
的摩擦系数为?，问A从开始运动到相对于B静止时，在B上移动了多少距离？ 32、（0209C45） m 两个形状完全相同、质量都为M的弧形导轨A和B，相向地放在地板上, 今有一质量为m的小物体，从静止状态由A的h0ABMM顶端下滑，A顶端的高度为h0，所有接触面均光滑．试求小物 体在B轨上上升的最大高度(设A、B导轨与地面相切)．
A33、（0220C65）
两个质量分别为m和M的物体A和B．物体B为梯形物?H块，H、h和??如图所示．物体A与B以及B与地面之间均为Bh光滑接触．开始时物体A位于物体B的左上方顶端处，物体A
和B相对于地面均处于静止状态．求当物体A沿物体B由斜面顶端滑至两物体分离时，物体B的动量． 34、（0402B40）
若质量为m1以速率v10运动的物体A与质量为m2的静止物体B发生对心完全弹性碰撞，如何选择m2的大小，使得m2在碰撞后具有最大的动能？又此最大动能是多少？ 35、（0435B40）
质量为M的木块静止在光滑的水平面上．质量为m、速率为v的子弹沿水平方向打入木块并陷在其中，试计算相对于地面木块对子弹所作的功W1及子弹对木块所作的功W2． 36、（0436B35）
m 如图所示，质量为m的木块，从高为h，倾角为? 的光滑斜面上由静止开始下滑，滑入装着砂子h?Mk的木箱中，砂子和木箱的总质量为M，木箱与一端
固定, 劲度系数为k的水平轻弹簧连接，最初弹簧为原长，木块落入后，弹簧的最大压缩量为l，试求木
l箱与水平面间的摩擦系数?．
37、（0456B30）
两个质量为m1和m2的小球在一直线上作完全弹性碰撞，碰撞前两小球的速度分别为v1和v2（同向）．碰撞过程中，两小球的最大形变势能是多少？