令??x?y，得d????? 且gS????eSd???????eSd???d??eS?S?????ed?
????eS?d??2?e0?S?d??2 S得gS???????S2eS?
D??gS???d???d????S2S2S2?????eS?d??S??2??e0d?1S
?2?1S2?对gS???进行傅立叶变换
GS?????gS???e?j??d????S2?2S??2S2??2Q????P???2S
2??P????2P???S1??j?y??pY?y??Q?ed? ???2??pY?y??pX?x?y??D2p?X?x?y?
a?aya32?ay?pY?y??e?De22 a?ay??1?a2D2?e21由pY?y??0，得D?
aDmax?Infy
??????pX?x?d?x,y?dxx?ya?axedx 2且
?Infy???1a当0?D?Dmax?1时 aR?D??RL?D??H?X??H?gS??lb2ae?lb2eD??lbaD, 0?D?1a?A,?0,|f|?F1|f|?F1，失真度量取
6. 设有平稳高斯信源X (t)，其功率谱为G(f)??d(x,y)?(x?y)2，容许的样值失真为D。试求：
（1） 信息率失真函数R(D)；
（2） 用一独立加性高斯信道（带宽为F2，限功率为P，噪声的双边功率谱密
度为
N0）来传送上述信源时，最小可能方差与F2的关系。 2（1）对于时间 连续的平稳高斯信源，当功率谱密度已知时，
R?D??14?1R?D??2?12??????max?0,lb??2SG?????d?
?1???min?,G???d? ????2S??在本题中
?1???min?,G???d?????2S???1???min??,G?f??df???2S? F11???df?F12SF1????1 ?设A?-?S2S??F即S??1
D1?R?D??max?0,lb??2SG?????d????4?1???max?0,lb??2SG?f???df2??1F1??lb??2SA?df 2?F1?F1lb??2SA?R?D??2AF1 bit/sD0?D?2AF1?F1lb（2）信道容量为C?F2lb??1???由定理可知，当C?R?D?时，可以采用最佳编码，其硬气的错误小于等于D。 取R?D??C,求得最小均方误差D。
P??bit/s F2N0??F1lb?2AF1P?? ?F2lb?1??? DFN20???F2?P?F1 ?D?2F1A??1?FN??20??D令??F2F1，??
F1N0???D??1??得? 2F1A????D?1 ??0时，
2F1AD?1??1??? ??1时，
2F1A???1?????时，由于lim?????????D?e??如下图： 所以
2F1AD2F1A1?????e??
?1????1e??0??1??
7. 某工厂的产品合格率为99%，废品率为1%。若将一个合格产品作为废品处理，将损失
1元；若将一个废品当作合格产品出厂，将损失100元；若将合格品出厂，废品报废，不造成损失。试分析质量管理中各种情况造成的损失及付出的代价。 解 根据题意有
信源空间： 好（合格） 废（废品） P(好)=0.99 P(废)=0.01 选择失真函数为
d(好，好)=0 d(废，废)=0
d(好，废)=10 d(废，好)=100 失真矩阵为
F2F1 好 废好?0?D???废?1001? 0??可将产品检验分成如下4种情况：全部产品都当合格品，全部产品都当废品，完美的检验和允许出错的检验。下面分别进行讨论。
情况1 全部产品不经检验而出厂——都当合格品。 把这一过程看作是一个―信道‖，其―传递概率‖为
P(好/好)=1 P(废/好)=0 P(好/废)=1 P(废/废)=0
信道矩阵为
好废??这种情况的平均损失，即平均失真度，为
好?10?废?10???
D???P(ai)P(bj/ai)d(ai,bj)
ij =P(好)?P(好/好) ?d(好,好)+ P(好)?P(废/好) ?d(好,废)
+P(废)?P(好/废话) ?d(废,好)+ P(废)?P(废/废) ?d(废, 废) =0.01?1?100=1元/个
情况2 全部产品不经检验全部报废——都当废品
这时的信道传输概率为
P(好/好)=0 P(废/好)=1 P (好/废)=0 P (废/废)=1
信道矩阵为
好废好?0??1? ??废?01?
平均失真度为
D???P(ai)P(bj/ai)d(ai,bj)ij
=P(好)?P(好/好) ?d(好,好)+ P(好)?P(废/好) ?d(好,废)
+P(废)?P(好/废) ?d(废,好)+ P(废)?P(废/废) ?d(废, 废)
=0.99?1?1=0.99元/个
Dmax?0.99
R(Dmax)?0
全部报废造成损失小于全部出厂造成的损失。
情况3 经过检验能正确无误地判断合格品和废品——完美的检验 这相当于无噪信道的情况，信道矩阵为
好废??平均失真度为
好?10??? 废?01?D?0
即这种情况不会另外造成损失。
情况4 检测时允许有一定的错误——非完美的检验 设检验的正确率为p，则信道的传输概率为
P(好/好)=p P(废/好)=1-p P(好/废)=1-p P(废/废)=p
信道矩阵为
好 废1-p? ???废?1-pp??好?p平均失真度为
D???P(ai)P(bj/ai)d(ai,bj)
ij =P(好)?P(废/好) ?d(好, 废)+P(废)?P(好/废) ?d(废,好)
=0.99?(1-p)?1+0.01?p?100 = 1.99(1-p)元/个
8. 设输入符号表为X= {0, 1 }，输出符号表为Y={0, 1}。定义失真函数为：
d (0, 0) = d (1,1) = 0 d (0, 1) = d (1,0) = 1
试求失真矩阵[D]。 d?0,0??d?1,1??0
d?0,1??d?1,0??1
?01??D????
?10?9. 某二元信源X的信源空间为
?X?P????其中w < 1/2，其失真矩阵为
X: a1, a2?P(X):w, 1?w
?0d?D? ?????d0?（1） 试求Dmax和R(Dmax)；
（2） 试求Dmin及R(Dmin)； （3） 试求R(D)；
（4） 写出取得R(D)的试验信道的各传递概率；
（5） 当d = 1时，写出与试验信道相对应的反向试验信道的信道矩阵。
解： ??X??a1a2??? ???P(X)???1????D????0d?? d0??（1）Dmax?min?d?,d?1?????d?（因为??1/2）
R?Dmax??0