（2）Dmin?0
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（3） 由于
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第9章 习题
1. 对(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1)，讨论其纠检错能力，对用完备译码、不完备译码以及不完备
译码＋ARQ等方法译码，求译码错误概率。 解：
对(2, 1)码，若d=1，能纠检错0个；若d=2,能检1个错，纠0个错
对(3, 1)码，若d=1，能纠检错0个；若d=2,能检1个错，纠0个错；若d=3，能检2个错，纠1个错
对(4, 1)码，若d=1，能纠检错0个；若d=2,能检1个错，纠0个错；若d=3，能检2个错，纠1个错，若d=4,能检3个错，纠1个错
对(5, 1)码，若d=1，能纠检错0个；若d=2,能检1个错，纠0个错；若d=3，能检2个错，纠1个错；若d=4,能检3个错，纠1个错；若d=5,能检4个错，纠2个错
2. 为什么d =2的(n, n–1)码能检测奇数个错误？ 解:
d=2，能检1个错，又因为(n, n–1)码是奇偶校验码，即对于
奇校验码：Cn?1?Cn?2????C0?0 偶校验码：Cn?1?Cn?2????C0?1 当出现一个错或者奇数个错时，在接收端 奇校验码：Cn?1?Cn?2????C0?1 偶校验码：Cn?1?Cn?2????C0?0
都能检测到错误，故d =2的(n, n–1)码能检测奇数个错误。
3. 设C = {11100, 01001, 10010, 00111}是一个二元码，求码C的最小距离d。 解：
d(11100, 01001)=3 d(11100, 10010)=3 d(11100, 00111)=4 d(01001, 10010)=4 d(01001, 00111)=3 d(10010, 00111)=3 故码C的最小距离d=3
4．设C = {00000000, 00001111, 00110011, 00111100}是一个二元码。 （1） 计算码C中所有码字之间的距离及最小距离；
（2） 在一个二元码中，如果把某一个码字中的0和1互换，即0换为1，1换为0，所得的字称为此码字的补。所有码字的补构成的集合称为此码的补码。求码C的补码以及补码中所有码字之间的距离和最小距离，它们与（1）中的结果有什么关系？ （3） 把（2）中的结果推广到一般的二元码。
解：
（1） d(00000000, 00001111)=4 d(00000000, 00110011)=4
d(00000000, 00111100)=4 d(00001111, 00110011)=4 d(00001111, 00111100)=4 d(00110011,00111100)=4 故码C的最小距离d=4
（2） 码C的补码是 {11111111, 11110000, 11001100, 11000011}
d(11111111, 11110000)=4 d(11111111, 11001100)=4 d(11111111, 11000011)=4 d(11110000, 11001100)=4 d(11110000, 11000011)=4 d(11001100, 11000011)=4 故C补码的最小距离d=4
（3）推广到一般的二元码也有以上的结论
设码C中任意两码字的距离为d, 即两码字有d位不同，n-d位相同。变补后，仍有d位不同，n-d位相同，所以任意两码字的距离不变，最小距离当然不变。
习题（第10章）
1. 已知11次本原多项式p (x) = x11 + x2 + 1，试求GF(211)中元素? =? 89及? 2, ? 3, ? 4, ? 5的最小多项式。 解：
?11??2?1
84???89???11??????4?1??????16?1????8??6?? ?2??7??5??3??2?? ?3??10??7??3??2
?4??10??6??5??4??3??2 ?5??8??7??6??5?1 ???89的共轭元为：
?2??7??5??3??2??
?4??10??6??5??4??3??2 ?8??10??9??8??6??5??2?1 ?16??8??6??5??4??3??2??
?1?x???x???x??2x??4x??8x??16?x11?x10?x6?x5?x4?x2?1????????
?2?x???4?x??x?x?x?x?x?11110642
?3?x??x11?x10?x6?x5?x4?x2?1 ?5?x??x11?x9?x7?x6?x5?x?1
2. 求码长为n的q元重复码的生成矩阵。 若n=2,q=2，则有22＝4个码字 生成矩阵
?10?G???
01??对于码长为n的q元重复码，生成矩阵是q?q维单位矩阵。
nn??1????1n??? G?q ????????1???
3. 一个二元(11, 24, 5)码是线性码吗？为什么？ 是线性码。
n?k?13,
2t?1?11
13>11
4. 证明对于一个二元线性码L一定满足下列条件之一： （1） 码L中所有码字具有偶数重量；