24. 均值的T检验
（一）t分布
2)，若样本均数X服从正态分布N(?,?X经过U变换
X???X, 可以
变成标准正态分布N(0, 12), 也成为U分布.
实际工作中，由于总体标准差?X未知，用样本标准差SX代替，则
X??不再服从标准正态分布，而是服从t分布： SXt?X??X???, ??n?1 SXS/n其中，S为样本方差，n为样本含量，v为自由度。
t分布只有一个参数——自由度v. v→∞时，t分布无限接近标准正态分布。
t分布的图形
说明：
单侧概率（单侧尾部面积）用t?,?表示； 双侧概率（双侧尾部面积）用t?/2,?表示；
例如，t0.05,10=1.812, 则P(t≤-1.812)=P(t≥1.812)=0.05 t0.05/2,10=2.228, 则P(t≤-2.228)+P(t≥2.228)=0.05
（二）t检验
t检验，是一种针对连续变量的参数假设检验，用来检验“单样本均值与已知均值（单样本t检验）、两独立样本均值（独立样本t检验）、配对设计资料的均值（配对样本t检验）”是否存在差异，这种差异是否能推论至总体。
T检验适用于样本含量较小（比如n<60，大样本数据可以用U检验），适用条件：
①数据服从正态分布；
②满足方差齐性（方差相等）；
注：若数据不满足①，②，可以尝试对数据做变量变换：对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等。
方差齐性检验
要求两样本数据的总体均服从正态分布，统计量F为为较大的方差与较小的方差的比值：
S12F?2, ?1?n1?1, ?2?n2?1
S2原假设H0：两总体方差相等； H1：两总体方差不相等。
使用car包中的函数leveneTest()实现，基本格式为：
leveneTest(y, group, center=, ...) leveneTest(formula,data,subset,...)
其中，y为样本数据；
group为因子型的分组变量；
center指定计算每组的中心的方法，默认是中位数median，也可以用均值mean
formula设置公式格式：formula=定量变量~分组变量 示例：
setwd(\办公资料/R语言/R语言学习系列/codes\load(\ head(chengji,3)
class sex Math English Rank 1 1 1 60 66 4 2 1 1 42 58 5 3 1 1 78 95 3 library(car)
leveneTest(Math~as.factor(class),data=chengji)
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
Df F value Pr(>F)
group 1 0.0284 0.8669 48
说明：P值=0.8669>0.05, 接受原假设，即方差齐。
注：leveneTest是先对数据做一定变换再进行组间齐性检验，也是一般统计分析软件做方差齐次检验的方法。另外，R语言自带的方差齐性检验函数var.test()和bartlett.test()是对原始数据的方差进行检验（只适合正态或对称数据），所以P值结果会有差异。它们的基本格式是一致的：
var.test(x, y,alternative=c(\\\
conf.level=0.95, ...)
var.test(formula=, data,subset,...)
其中，x,y为数值向量；
示例：
bartlett.test(Math~as.factor(class),data=chengji)
Bartlett test of homogeneity of variances
data: Math by as.factor(class)
Bartlett's K-squared = 0.063063, df = 1, p-value = 0.8017
（三）R语言实现
用函数t.test()实现，基本格式为：
t.test(x, y=NULL,alternative=,mu=0, paired=FALSE,
var.equal=FALSE,conf.level=0.95, ...)
其中，x, y为要检验的样本数据，若只有x则进行单样本t检验；
alternative指定备择假设，默认\双侧检验(t≠t0)，\左侧检验(t≤t0)，\右侧检验(t≥t0)；
mu指定要检验的均值；
paired指定是否做配对t检验，默认FALSE； var.equal指定两组样本是否方差齐； conf.level为置信区间的置信水平； 或者使用公式格式：
t.test(formula, data, subset, na.action, ...)
其中，formula指定公式的形式：var~factor，左侧是数值变量，右侧是二分组的因子变量。
一、单样本的t检验 要求数据满足正态性。
问题1：检验“数学成绩”的平均值是否≥78分。
setwd(\办公资料/R语言/R语言学习系列/codes\load(\#两个班50个人的数学英语成绩等 head(chengji)
class sex Math English Rank 1 1 1 60 66 4 2 1 1 42 58 5 3 1 1 78 95 3 4 1 2 65 74 4 5 1 2 68 84 4 6 1 1 57 58 5
shapiro.test(chengji$Math)#正态性检验 Shapiro-Wilk normality test
data: chengji$Math W = 1, p-value = 0.3
t.test(chengji$Math,mu=78,alternative=\ One Sample t-test
data: chengji$Math
t = -1, df = 50, p-value = 0.9
alternative hypothesis: true mean is greater than 78 95 percent confidence interval: