课时作业26 正弦定理、余弦定理应用举例
一、选择题
1．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船
A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距
离是( )
A．35海里 C．353海里
B．352海里 D．70海里
解析：设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，EF＝50＋30－2×50×30cos120°＝70. 答案：D
2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )
A．1 C．2cos10°
B．2sin10° D．cos20°
22CE2＋CF2－2CE·CFcos120°＝
解析：如图所示，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.
在△ABD中，由正弦定理
＝，
sin160°sin10°
ADABsin160°sin20°
∴AD＝AB·＝＝2cos10°.
sin10°sin10°答案：C
π
3．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝( )
4A.C.10 10310
10
2
B.D.
10 55 5
解析：由余弦定理得AC＝9＋2－2×3×2×
2
＝5，所以AC＝5；再由正弦定理2
1
23×
2310ACBC＝代入得sin∠BAC＝＝. sin∠ABCsin∠BAC105
答案：C
4．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始__________h后，两车的距离最小．( )
A.C.69
4370 43
B．1 D．2
解析：如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD＝200－80x，BE＝50x，
∴y＝(200－80x)＋(50x)－2×(200－80x)·50x·cos60° 整理得y＝12 900x－42 000x＋40 000(0≤x≤2.5) 702
∴当x＝时y最小．
43答案：C
5．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )
A.
150
分钟 7
B.15
分钟 7
2
2
2
2
2
C．21.5 分钟 D．2.15小时
解析：如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC＝AD＋AC－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)＋(6t)－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t－20t＋100.
2
2
2
2
2
2
551502
当t＝时，DC最小，DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟．
14147答案：A
2
6．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)，若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是( )
A.C.
30 543
9
B.D.30 1053
9
解析：
如图所示，过点P作PO⊥BC于点O，连接AO，则∠PAO＝θ.设CO＝x m，则OP＝
3
x m．在3
4
Rt△ABC中，AB＝15 m，AC＝25 m，所以BC＝20 m，所以cos∠BCA＝.所以AO＝
5
3x3
42
625＋x－2×25x×＝
533406251－＋2
33
x2－40x＋625(m)．所以tanθ＝
x－40x＋625
2
＝
＝xx3
353254125
.当＝，即x＝时，tanθ取得最大值，＝.
x54392
?25－4?＋9
5?x5?25
??
答案：D 二、填空题
7．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照整个广场，则光源的高度为________m.
15
解析：轴截面如图，则光源高度h＝＝53(m)．
tan60°
答案：53
3
8．如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离202海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°4
<θ<45°)的C处，且cosθ＝.已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为
5______________海里/小时．
43242
解析：因为cosθ＝，0°<θ<45°，所以sinθ＝，cos(45°－θ)＝×＋×
55252372722
＝，在△ABC中，BC＝800＋100－2×202×10×＝340，所以BC＝285，该货船51010的船速为485海里/小时．
答案：485
9．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于__________；边长AC的取值范围
cosA为________．
ACBCAC1AC解析：由正弦定理得，＝，∴＝，
sinAsinBsinAsin2A∴
1ACAC＝，∴＝2. sinA2sinAcosAcosA在锐角△ABC中，
???π?π
?0 ππ??0 ππAC∴ 10．如图，A，B是海平面上的两个小岛，为测量A，B两岛间的距离，测量船以15海里/小时的速度沿既定直线CD航行，在t1时刻航行到C处，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，1小时后，测量船到达D处，测得∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B两小岛间的距离．(注： π0 2 A、B、C、D四点共面) 4 解：由已知得CD＝15，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°， ∴∠CAD＝30°， 在△ACD中，由正弦定理得∴AD＝153； ∵∠BDC＝75°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝60°， 在△BCD中，由正弦定理得， 15BD＝，∴BD＝56； sin60°sin45° 在△ABD中，∠ADB＝45°，由余弦定理得 15AD＝， sin30°sin120° AB＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB ＝（153）＋（56）－2·153·56cos45° ＝515 故两小岛间的距离为515海里． 11．某人在山顶P观察地面上相距2 500 m的A，B两个目标，测得A在南偏西57°，俯角为30°，同时测得B在南偏东78°，俯角是45°，求此山的高度．(设A，B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m) 解：画出示意图(如图所示)． 2 2 设山高PQ＝h， 则△APQ，△BPQ均为直角三角形，在图(1)中，∠PAQ＝30°，∠PBQ＝45°， 1 ∴AQ＝PQ＝3h，BQ＝PQ＝h. tan30° 在图(2)中，∠AQB＝57°＋78°＝135°，AB＝2 500 m， 由余弦定理得AB＝AQ＋BQ－2AQ·BQcos∠AQB， 即2 500＝(3h)＋h－23h·hcos135°＝(4＋6)h， ∴h＝2 5004＋6 ≈984.4(m)， 2 2 2 2 2 2 2 即山高约为984.4 m. 5