哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学
2015年高三第二次联合模拟考试
理科数学试卷
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间l20分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设集合M={x|x2?2x?3?0,x?Z}，则集合M的真子集个数为 A．8 B．7 C．4 D．3
2．命题“若x>1，则x>0”的否命题是 A．若x≤l，则x≤0 B．若x≤l，则x>0 C．若x>1，则x≤0 D．若x<1，则x<0
3．复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1z2=-2i，则|z1|= A．1 B．2 C．2 D．4
4．已知a，b，m，n是四条不同的直线，其中a，b是异面直线，则下列命题正确的个数为 (D若m?a，m?b，n?a，a?b，则m∥n； ②若m∥a，n∥b，则m，n是异面直线；
③若m与a，b都相交，n与a，b都相交，则m，n是异面直线． A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知向量AB与向量a=(1，-2)的夹角为?，|AB|?25，点A的坐标为(3，-4)，则点B的坐标为
A．(1，0) B．(0，1) C．(5，-8) D．(-8，5) 6．函数f(x)?sinx?sin(A．x?2??x)图象的一条对称轴为 3?2 B．x?? C．x??6 D．x??3
7．阅读程序框图，若输出结果S?
9，则整数m的值为 10- 1 -
A．7 B．8 C．9 D．10
x2?y2?1的左、右焦点，点P在椭圆8．设F1、F2分别为椭圆4上，且|PF1PF2= 1?PF2|?23，则?FA．
???? B． C． D． 6432
9．一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为
A．16? B．9? C．4? D．?
10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x?1)是偶函数，当
x∈(2，4)时，f(x)?|x?3|，则f(1)?f(2)?f(3)?f(4)=
A．1 B．0 C．2 D．-2
x2y211．已知双曲线2?2?1(a>0，b>0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直
ab线
xy??1截得的弦长为6a，则双曲线的离心率为 ab A．3 B．2 C．3 D．2 12．若函数y?1sin2x?acosx在区间(0，?)上是增函数，则实数a的取值范围是 2 A．(一∞，一l] B．[一1，+∞) C．(一∞，0) D．(0，+∞)
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第l3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题一第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．)
13．(x?1)(x?2)的展开式中含x项的系数为 。
14．设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量?(单位为：元)，经统计得?～N(520，14400)，从该城市私家车中随机选取容量为l0000的样本，其中每月汽油费用在(400，640)之间的私家车估计有 辆．
43?)， (附：若?～N(?，则P(?-???????)=0．6826，P(??2??????2?)=0．9544，
- 2 -
2
P(??3?????3?)=0．9974)
15．?ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=cosB=
5，1312，则a+c的值为 ． ac16．在平面直角坐标系xoy中，已知圆O：x2?y2?16，点P(2，2)，M，N是圆O上相异两点，且PM?PN，若PQ?PM?PN，则|PQ|的取值范围是 ． 三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)
已知数列{an}前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n(n∈N*)． (I)证明：{an+2}是等比数列，并求{an}的通项公式； (Ⅱ)数列{bn}满足bn=log2(an+2)，Tn为数列{
1}的前n项和，若Tn?a对正整数a都成bnbn?1立，求a的取值范围．
18．(本小题满分12分)
微信是现代生活进行信息交流的重要工具，对某城市年龄在20岁至60岁的微信用户进行有关调查发现，有
1的用户平均每天使用微信时间不超过1小时，其他人都在1小时以上；3若将这些微信用户按年龄分成青年人(20岁至40岁)和中年人(40岁至60岁)两个阶段，那么其
3是青年人；若规定：平均每天使用微信时间在1小时以上为经常使用微信，经常使用微42信的用户中有是青年人。
3中
(I)现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法选取容 量为l80的一个样本，假设该样本有关数据与调查结果完全相同，列出2×2列联表．
经常使用微信 不经常使用微信 合计 青年人 中年人 合计 (Ⅱ)由列表中的数据，是否有99．9％的把握认为“经常使用微信与年龄有关”?
(III)从该城市微信用户中任取3人，其中经常使用微信的中年人人数为X，求出X的期望．
n(ad?bc)2 附：K?
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P(K2≥k) k
0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 - 3 -
0.010 6.635 0.001 10.828
19．(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面为正三角形，点M在棱BB1上，AB=4，AA1=5，平面A1MC?平面ACC1A1． (I)求证：M是棱BB1的中点；
(Ⅱ)求平面A1MC与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
20．(本小题满分12分)
设F是抛物线C：y2?4x的焦点．P是C上一点，斜率为-l的直线l交C于不同两点A，B(l不过P点)，且?PAB重心的纵坐标为?2． 3 (I)记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2．求k1+k2的值； (II)求
11?的最大值． |FA||FB|
21．(本小题满分12分) 已知函数f(x)?ex?1?4a?3121，g(x)?ax?x?(a?1)． 6x32 (I)曲线f(x)在x=1处的切线与直线x?2y?1?0垂直，求实数a的值； (II)当a??3时，求证：f(x)在(1，+∞)上单调递增； 4 (III)当x≥1时，f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD是?ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D． (I)求证：CEAB=AEAC；
(Ⅱ)若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．
23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知点P的直角坐标是(x，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(?，?)，点Q的极坐标是(?，?+?0)，其中?0是常数．设点Q的平面直角坐标是(m，n)． (I)用x，y，?0表示m，n； (Ⅱ)若m，n满足mn=1，且?0=
?，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程． 4- 4 -
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知a，b，c>0，a+b+c=1． 求证：(I)a?b?c?3； (II)
- 5 -
1113???. 3a?13b?13c?12