（2）由cosA?3?4，A?(0,)则sinA?1?cos2A?，…………8分 525sinB?sin(??A?C)?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC
?413333?4…………10分 ?(?)???525210由
bccsinB，b???33?4…………12分
sinBsinCsinC17. (本题满分１２分)
甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为
23与，投中得1分，投不中得0分. 34（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和?的数学期望；
（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求甲恰好比乙多得分的概率.
本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力. 解：（1）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则A与B相互独立，且P（A）=
2311，P（B）=，P（A）=，P（B）=.…………1分 3434甲、乙两人得分之和?的可能取值为0、1、2，…………2分
111P(??0)?P(AB)?P(A)P(B)???
341213215P(??1)?P(AB?AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?????
343412231P(??0)?P(AB)?P(A)P(B)???…………4分
342则?概率分布为：
? P 0 1 2 1 125 121 2…………5分
E?=0×
15117+1×+2×=.…………6分 1212212·6·
答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和?的数学期望为
17.…………7分 12（2）设甲恰好比乙多得分为事件C，甲得分且乙得0分为事件C1，甲得2分且乙得分为事件C2，则C=C1+C2，且C1与C2为互斥事件. …………8分
21112231711…………11分 P(C)?P(C1)?P(C2)?C2???????C2???3344334436答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，甲恰好比乙多得分的概率为
18. (本题满分１4分)
AA?105,AB?BD,现将四边形如图甲，在平面四边形ABCD中，已知?A?45,?C?90,?ADC7。…………12分 36ABCD沿BD折起，使平面ABD?平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
FE（1）求证：DC?平面ABC；
（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；
BD（3）求二面角B－EF－A的余弦． BDC 乙（1） 证明：在图甲中∵AB?BD且?A?45 （2） ∴?ADB?45 ,?ABC?90
即AB?BD--------------------------------------------------------------------------------------2分
在图乙中，∵平面ABD?平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD ∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥C 又?DCB?90，∴DC⊥BC,且ABD．------------------------------------------4分
C甲BC?B
∴DC?平面ABC．-----------------------------------------------------5分 （2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点 ∴EF//CD，又由（1）知，DC?平面ABC， ∴EF⊥平面ABC，垂足为点E
∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角-------------------------------------7分 在图甲中，∵?ADC?105, ∴?BDC?60,?DBC?30 设CD?a则BD?2a,BC?3a,BF?112BD?22a,EF?CD?a-9分
22·7·
1aEF2?2sin?FBE??∴在Rt△FEB中， FB42a即BF与平面ABC所成角的正弦值为2．---------------------------------10分 4解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示， 设CD?a，则BD?AB?2a,BC?3a，AD?22a----------------6分 可得B(0,0,0),D(2a,0,0),A(0,0,2a),
33C(a,a,0)，F(a,0,a)， 22∴CD?(a,?ZAF123a,0),BF?(a,0,a)-------------8分 2XDCEBy设BF与平面ABC所成的角为? 由（1）知DC?平面ABC
12a?CD?BF22∴cos(??)? ??24|CD|?|BF|a?2a∴sin??2------------------------------------------------------10分 4（3）由（2）知 FE⊥平面ABC，
又∵BE?平面ABC，AE?平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，
∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角----------------------------------------------12分 在△AEB中，AE?BE?117AC?AB2?BC2?a 222AE2?BE2?AB21?? ∴cos?AEB?2AE?BE7即所求二面角B－EF－A的余弦为?19. (本题满分１4分)
如图，过点P（1，0）作曲线C：y?x(x?(0,??))的切线，切点为Q1，设点Q1在x
·8·
21．-------------------14分 7轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影是P2；………；依此下去，得到一系列点Q1,Q2,......Qn.....，设点Qn的横坐标为an. （1）求直线PQ1的方程； （2）求数列an的通项公式；
yQ2??1?1?.......?1?4 （3）记Qn到直线PnQn+1的距离为dn，求证：d1d2dn解：（1）令Q1(a1,a12)，由y'?2x得kPQ1?2x1……………1分
oP(1,0)Q1P1P2xa12?0即?2a1 故a1?2……………2分 a1?1?kPQ1?4，则切线l1的方程为：4x?y?4?0………………4分
（2）令Qn(an,a)，则Qn?1(an?1,a2n2n?1),Pn?1(an?1,0),?kPn?1Qn2an?0??2an……5分 an?an?1化简得
an?2,(n?2)，…………6分 an?1故数列?an?是以2为首项2为公比的等比数列…………7分 所以an?2n…………9分
（3）由（2）知Pn(2n,0)，Qn?1(2n?1,22n?2)故kPnQn?1n2nQ(2,2) n，
22n?2?0?n?1n?2n?2,?lPnQn?1:2n?2x?y?22n?2?0…………10分 2?2(2n?2)2?14n2n???…………11分 nn416?4?14?24n?dn?2n?2?2n?22n?22n?2?14?n……………12 dn21?1?.......?1?4[1?(1)2?dn22故d1d21[1?(1)n]2?4[1?(1)n]?4?(1)n]?4?2221?12……14分
·9·
x2y220. 已知椭圆2?2?1 (a?１)的左右焦点为F1,F2，抛物线C：y2?2px以F2为焦点且与椭
aa?1圆相交于点M?x1,y1?、N?x2,y2?,点M在x轴上方，直线F1M与抛物线C相切.
（1）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；
（2）设A,B是抛物线C上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别交于点P,Q. ?MPQ是以
MP,MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理
由.
解：（1）由椭圆方程得半焦距c＝a2?(a2?1)?1 …………1分 所以椭圆焦点为F1(?1， 0) F（，0）21又抛物线C的焦点为(pp,0) ??1 , p?2,?C：y2?4x ……3分 22∵M(x1,y1)在抛物线C上， ∴y1?4x1，直线F1M的方程为y?2y1(x?1) ………………4分 x1?1代入抛物线C得y12(x?1)2?4x(x1?1)2,
即4x1(x?1)2?4x(x1?1)2 ………………………………………5分 ?x1x2?(x12?1)x?x1?0, ∵F1M与抛物线C相切，
??＝（x1?1)2?4x1?0， …………………………………6分
22?x1?1, ∴ M、N的坐标分别为（1，2）、（1，－2）。 ………7分
（2）直线AB的斜率为定值—1.
证明如下：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
M(1,2)，A、B在抛物线y2?4x上，
?y12?4x1?2??y2?4x2?2?2?4?1①②③·10·