第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性
规划问题 一、填空题
x≥0，??
1．不等式组?x＋3y≥4，
??3x＋y≤4
所表示的平面区域的面积等于________．
?4?(0,4)，
解析 画图可知，不等式组所表示的平面区域是一个三角形，且三个顶点的坐标分别是?0，?，(1,1)，
?3?
1?4?4
所以三角形的面积S＝×?4－?×1＝.
2?3?3答案
4
3
x≥1，??
2．已知x，y满足?x＋y≤4，
??x＋by＋c≤0，
________．
记目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为
解析 由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7和直线x＋y＝4的交点，经过直线2x＋y＝1和直
??3＋b＋c＝0，
线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴?
?1－b＋c＝0，?
∴b＝－1，c＝－2. 答案 －1，－2
3．已知A(3，
?3x－y≤0，
3)，O是坐标原点，点P(x，y)的坐标满足?x－3y＋2≥0，
?y≥0，
→→
设Z为OA在OP上的投影，则
Z的取值范围是________．
→→→→→
解析 约束条件所表示的平面区域如图.OA在OP上的投影为|OA|cos θ＝23cos θ(θ为OA与OP的夹角)， ∵∠xOA＝30°，∠xOB＝60°，
∴θ∈[30°，150°]，∴23cos θ∈[－3,3]．
答案 [－3,3]
y≥0，??
4．已知实数x，y满足?y－x＋1≤0，
??y－2x＋4≥0，
若z＝y－ax取得最大值时的最优解
(x，y)有无数个，则a的值为________．
解析 依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.
答案 1
x≤2，??
5．设λ＞0，不等式组?λx－y≥0，
??x＋2λy≥0
①当λ＝1时，W的面积为3； ②?λ＞0，使W是直角三角形区域； ③设点P(x，y)，?P∈W有x＋
y
≤4. λ
所表示的平面区域是W.给出下列三个结论：
其中，所有正确结论的序号是________． x≤2，??
解析 当λ＝1时，不等式组变成?x－y≥0，
??x＋2y≥0，
其表示以点(0,0)，(2,2)，(2，－1)为顶点的三角形
1
区域，易得W的面积为3，①正确；∵直线λx－y＝0的斜率为λ，直线x＋2λy＝0的斜率为－，2λλ×?－
?1?＝－1≠－1，且直线x＝2垂直于x轴，∴W不可能成为直角三角形区域，②错误；显然，不等
?2?2λ?
x≤2，??
式组?λx－y≥0，
??x＋2λy≥0
1?y?表示的区域是以点(0,0)，(2,2λ)，?2，－?为顶点的三角形区域，令z＝x＋，
λ?λ?
1y
的最大值zmax＝4，③正确． 2，∴z＝x＋
λλ
则其在三个点处的值依次为：0,4,2－答案 ①③
2x－y＋2≥0，??
6．已知点Q(5,4)，动点P(x，y)满足?x＋y－2≤0，
??y－1≥0，
则|PQ|的最小值为________．
解析 不等式组所表示的可行域如图所示，直线AB的方程为x＋y－2＝0，过Q点且与直线AB垂直的直线3?31?为y－4＝x－5，即x－y－1＝0，其与直线x＋y－2＝0的交点为?，?，而B(1,1)，A(0,2)，因为＞1，
2?22?所以点Q在直线x＋y－2＝0上的射影不在线段AB上，则|PQ|的最小值即为点Q到点B的距离，故 |PQ|min＝
－
2
＋－
2
＝5.
答案 5
x－y＋1≥0，??
7．若实数x，y满足?x＋y≥0，
??x≤0，
则z＝3
x＋2y
的最小值是________．
解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面影部分所示)及直线x＋2y＝0，平移直线x＋2y＝0，面区域内的点(0,0)时，相应直线在x轴上的截距最得最小值，3答案 1
x≤0，??
8．若A为不等式组?y≥0，
??y－x≤2
x＋2y
区域(如图中的阴当平移到经过该平小，此时x＋2y取
0＋2×0
取得最小值，则z＝3
x＋2y
的最小值是3＝1.
表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的
那部分区域的面积为________．
11
解析 平面区域A如图所示，所求面积为S＝×2×2－
227
＝. 4答案
7 4
3x－4y＋3≥0，???
??4x＋3y－6≤0，?y≥0，x≥0??
2
2
×
221
×＝2－224
?
9．已知集合P＝?
?
，
???
，
Q＝{(x，y)|(x－a)＋(y－b)≤r，r＞0}．若“点M∈P”要条件，则当r最大时，ab的值是________．
2
是“点M∈Q”的必
解析 集合P所在区间如图阴影部分所示，由题意，Q?P，且AB⊥BC，所以当r最大时，圆(x－a)＋(y－b)＝r是四边形OABC的内切圆，从而a＝b＝r，于是由1
所以ab＝. 4答案
1 4
2
2
2
|3a－4a＋3||4a＋3a－6|1
＝a且＝a，解得a＝b＝，552
b
10．已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，cln b≥a＋cln c，则的取值范围是________．
a
??ab
解析 由条件可得?＋≤4，ccba??c≥ec，3x＋y≥5，??
条件为?x＋y≤4，
??y＝ex
ab
3·＋≥5，
cc
ab
令＝x，＝y，cc
则问题转化为约束
by
求目标函数z＝＝的取值范围．作
ax
x
出不等式组所表示
的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作y＝e的切线，切线方程为y＝ex，切点P(1，e)在区域内．故当直b?17?线y＝zx过点P(1，e)时，zmin＝e；当直线y＝zx过点C?，?时，zmax＝7，故∈[e,7]． a?22?答案 [e,7] 二、解答题
x－y＋1≤0，??
11．实数x、y满足?x＞0，
??y≤2.
y
(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；
x(2)若z＝x＋y，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围． x－y＋1≤0，??
解 ?x＞0，
??y≤2.
2
2
作出可行域如图中阴影部分所示．
yy
(1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率
xx(OA斜率不存在)．
??x－y＋1＝0
而由?
?y＝2?
2
，得B(1,2)，则kOB＝＝2.
1
∴zmax不存在，zmin＝2， ∴z的取值范围是[2，＋∞)．
(2)z＝x＋y表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方． 因此x＋y的范围最小为OA(取不到)，最大为OB.
??x－y＋1＝0由???x＝0
2
2
2
2
2
2
，得A(0,1)，[:
∴OA＝(0＋1)＝1，OB＝(1＋2)＝5. ∴z的最大值为5，没有最小值． 故z的取值范围是(1,5]．
12．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两
个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
x＋y≤10，??0.3x＋0.1y≤1.8，
解 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知?x≥0，
??y≥0，z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．
22222222
目标函数
将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，这是斜率为－2、随z变化的一组平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点M时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，z也最大． 这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
??x＋y＝10，
解方程组?
?0.3x＋0.1y＝1.8，?
得x＝4，y＝6，
此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．
∵7＞0，∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
13．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白
质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z
位，所花的费用为错误!即错误!让＝2.5x＋4y在
(4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求． x≥0，??
14．若a≥0，b≥0，且当?y≥0，
??x＋y≤1
的面积．
x≥0，??
解 作出线性约束条件?y≥0，
时，恒有ax＋by≤1，求以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域
对应的可行域如图(1)所示，在此条件下，要使ax＋by≤1恒成立，只
??x＋y≤1
要ax＋by的最大值不超过1即可． 令z＝ax＋by，则y＝－az
bx＋b
.
因为a≥0，b≥0，则－1＜－aa
b≤0时，b≤1，或－b≤－1时，a≤1.此时对应的可行域如图(2)，
所以以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的面积为1.