☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例2．如图1，已知抛物线C1：y??2x2?2的顶点为P，将抛物线C1：y??2x2?2沿x轴
翻折，得抛物线C2.
（1）请直接写出抛物线C2的解析式： ；
（2）如图2，将抛物线C2向上平移得到新抛物线C3，若新抛物线C3的顶点为Q，与原
抛物线C1交于A、B两点，若四边形APBQ为正方形，则新抛物线C3的解析式： ；
（3）如图3，将抛物线C2向上平移得到新抛物线C4，若新抛物线C4与原抛物线C1交
于A、B两点，若△PAB为等边三角形，则新抛物线C4的解析式： ；
y
C3y
yC4 PPC2 AB C2C2 QAB xOxOOx C1C1 C1
（4）现将抛物线C1向左平移m个单位长度（m＞0），平移后得的新抛物线C5的顶点为
M，与x轴的交点从左到右依次为A，B两点；将抛物线C2向右平移n个单位长度（n＞0），平移后得到的新抛物线C6的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E两点.分别求出符合下列条件的m、n满足的数量关系： ①平移后的抛物线C5经过点N，平移后的抛物线C6经过点M； ②B，D是线段AE的三等分点；
③若m=n，在平移过程中，是否存在这样的m值，使得以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.
yy OxOx 备 用 图备 用 图
2012年武汉市中考数学知识点解读 第 31 页 共 36 页
☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例3．如图1，已知抛物线C1：y??(x?1)2?4与x轴交于A、B两点，将抛物线C1沿x轴翻
折后，再作适当平移得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点恰好在B点，抛物线C2与抛物线C1交于点Q.
（1）请直接写出抛物线C2的表达式，并判断Q点是否为抛物线C1的顶点；
（2）将抛物线C2沿抛物线C1平移得到抛物线C3，始终保证抛物线C3的顶点P在第一象
限的抛物线C1上，抛物线C3与抛物线C1交于点Q. ①如图2，若△APQ为直角三角形，求抛物线C3的解析式；
②如图3，过点P作AQ的平行线交x轴于点D，是否存在这样的抛物线C3，使得四边形ADPQ为等腰梯形？若存在，请求抛物线C3的解析式；若不存在，请说明理由.
yQC2QyyC3QPPAAOC1DBxC1AOBxODx图1 图2
2图3 例4．如图1，已知抛物线C1：y?a?x?2??5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A
在点B的左边），且△PAB的面积为15，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2沿y轴正半轴平移1个单位，再沿x轴正方向平移m个单位（m＞0），平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为Q.
（1）求抛物线C1和抛物线C2的解析式； （2）分别求出符合下列条件的m的值：①线段PQ经过点B；②抛物线C3恰好经过点P； （3）点M是抛物线C3上一点，是否存在这样的抛物线C3，使得四边形APMQ为矩形？
若存在，请求抛物线C3的解析式，并直接写出Q、M两点的坐标；若不存在，请说明理由．
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☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 二、根与系数的关系（研究直线与抛物线的两个交点问题） 例5．如图，M为y轴上一点，过点M任作直线交抛物线y?12x?1于P、Q两点，PA⊥x轴4
于点A，QB⊥x轴于点B，是否存在这样的点M，使得△ABM恒为直角三角形？
yPMQBxAO例6．如图，A为抛物线y?12x?1的顶点，M为y轴上一点，过点M任作直线交此抛物线于4
P、Q两点，连接PA、PB，是否存在这样的点M，使得△APQ恒为直角三角形？
yQPMAOx例7．如图，M为y轴上一点，过点M任作直线交抛物线y?12x?3于P、Q两点，连接PO、4yQMPQO，是否存在这样的点M，使得△OPQ的内心恒在y轴上？
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x☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例8．如图，抛物线y?x2?2x?3与y轴交于点C，过原点O作直线交此抛物线于P、Q两
点，是否存在这样的直线PQ，使得CP⊥CQ？
yQOxPCyGlFEODBxC123x?x?与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，将此抛物线x22例9．如图，抛物线y?轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的部分与原抛物线x轴上方的部分构成一个新图象，
将直线BC沿y轴正方向平移m个单位长度（m＞0），平移后的直线l与新图象有四个不同的交点.
（1）求m的取值范围；
（2）设平移后的直线l与新图象的四个交点从左到右依次为D、E、F、G四点，是否
存在这样的m值，使得EF=DE+FG？
三、含参数的抛物线解析式（隐藏图象变换）
例10．已知二次函数y?x2?2mx?m2?m?4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的
左边），且与y轴交于点D，M为抛物线的顶点. （1）分别求出符合下列条件的m的值：
①D、M两点重合，则m= ；
②当点D在y轴正半轴时，且△BOD为等腰三角形，则m= ； ③△MAB为直角三角形，则m= ； ④△MAB为等边三角形，则m= ；
⑤△ABC为直角三角形，则m= ；
（2）平行x轴的直线交此抛物线于P、Q两点，若△MPQ为等边三角形，试问当m的值
变化时，等边△MPQ的面积是否发生改变？
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☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例11．如图，抛物线C1：y=(x+1)-4的顶点为M，与y轴交于点A.
（1）求直线MA的函数解析式；
（2）将此二次函数的图象作适当平移，得抛物线C2：y=(x+1)-4-k，抛物线C2与直线
MA交于B、C两点（点B在点C左侧），设抛物线C2的顶点为N. ①若BC的长度大于42，求k的取值范围；
②是否存在实数k，使得MB⊥NB？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由；
（3）将上述抛物线作适当平移，得抛物线C2：y=(x-h)，当4＜x≤m时，y≤x恒成
M备 用 图2
2
2
立，求m的最大值．
yyOxAOx例12．如图1，点C、B分别为抛物线C1：y1?x?1，抛物线C2：y2?a2x2?b2x?c2的
顶点．分别过点B、C作x轴的平行线，交抛物线C1、C2于点A、D，且AB = BD． （1）求点A的坐标；
（2）如图2，若将抛物线C1：“y1?x2?1”改为抛物线“y1?2x2?b1x?c1”．其
他条件不变，求CD的长和a2的值．
（3）如图2，若将抛物线C1：“y1?x2?1”改为抛物线“y1?a1x2?b1x?c1”，
其他条件不变，求b1?b2的值．
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2☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例13．已知:抛物线C1：y?a1x2?b1x?c1，顶点为P，交y轴于C.
(1)若P(-1，4)，C(0，3)，求抛物线C1；
(2)将(1)中的抛物线C1向下平移3个单位，在向右平移m个单位，得到抛物线C2，交x轴于C，D(C左D右)，若PA⊥AC，求m的值；
(3)如图，抛物线C2：y?a2x2?b2x?c2的顶点E在抛物线C1上，且经过P点，过E作EF∥x轴交C1于F，PN∥x轴交C2于N，若PN=PF，求b1?b2.
Py
CO
四、操作与探究
yPNAxDFOEx例14．把一块三角板置于平面直角坐标系中，三角板的直角顶点为P，两直角边与x轴交于
A、B，如图1，测得PA=PB，AB=2.以P为顶点的抛物线y??(x?2)2?k恰好经过A、B两点，抛物线的对称轴x?a与x轴交于点E.
(1) 填空:a? ，k? ，点E的坐标为 ；
(2)设抛物线与y轴交于点C，过P作直线PM⊥y轴，垂足为M.如图2，把三角板
绕着点P旋转一定角度，使其中一条直角边恰好过点C，另一条直角边与抛物线的交点为D，试问：点C、D、E三点是否在同一直线上？请说明理由； (3)在（2）的条件下，若Q(m,n)为抛物线上的一动点，过Q作QF⊥PM，垂足为F， 连结CF、QC.试探索：是否存在点Q，使得△QCF是以QC为腰的等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
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