?zF1?(1?1?zy?x?z?x)?F2?(x?zx2)?0
得
?xF1?(y?zy2?z)?F2?(1??yx)?0
?z?x?y(zF2??xF1?)x(xF1??yF2?)?y?z?y?2,?z?y?x(zF1??yF2?)y(xF1??yF2?)2
x?z?xz(xF1??yF2?)?xy(xF1??yF2?)xF1??yF2?
?z?xy故得证 8.12设u?f(1x,1xy)具有二阶连续偏导数，求
1xy2?u?x?y2。
解答：
?u?x??1x2f1??f2?
?u?x?y2??1x12??(?f12???f121xy22)?1?111?????f?f(?)2222?22?yx?yxy?1xy33?1xy2
x3y2f2????f22
12?222zdx?x?y?8.13 设? 求22dz?x?y?z?2?12?22x?y?z?2??x?y?z?2?。
解答：
确定二个函数x?x(z),y?y(z)
上二等式两端同时对z求导
dxdy?2x??2y??z??dzdz ??dx?dy?1?0?dz?dz
由Gramer法则
dxdz?z?2y2x?2y,dydz??2x?z2x?2y
dxdz22?dy?dy???dx??1?2??x?y???z?2y???dz?dz???dz2?x?y?2x?z2x?2y2
x?y?2??x?y???z2?x?y??2y?2z?2y?2x?z2x?2y
???x?y?z?2 32?x?y? 8.14
222??7x?y?3z??1方程组?2 确定了隐函数y?y(x)，z?z(x) 22??4x?2y?3z?0dzdydz当x?1，y??2，z?2时，求，，2，2，
dxdxdxdxdy22解答：方程组对x求导得
?14x?2yy??6zz??0??8x?4yy??6zz??0
?32,z??53将x又
?1,y??2,z?2代入上式得y??dydx22
y???dydx?3xy,y????3y?3xy2??38
?2z?1?0的切平面方程。
z???dzdx?10x3z,z???103?z?xz?z2??518
8.15求曲面2x2?3y2?z2?9上平行于平面2x?3y解答：设满足条件所求切平面与曲面的切点为?x0,y0,z0?
则2x0又n?2?3y0?z0?922 ①
??Fx?x0,y0,z0?,Fy?x0,y0,z0?,FZ?x0,y0,z0?? ??4x0,6y0,2z0? :6y0:2z0?2:??3?:2
则4x0 ②
由①②解得x0??1,y0??1,z0??2
?1??2?z?2??0
故所求切平面方程为：
2?x?1??3?y?1??2?z?2??0或2?x?1??3?y化简
2x?3y?2x??9
和x2在点P(2,?3,1)处相切。
8.16证明曲面x?2y?lnz?4?0?xy?8x?z?5?0（即有公共切面）。 解答：
x?2y?lnz?4?0在点?2,?3,1?的切平面的法向量
?N??Fx?2,?3,1?,Fy?2,?3,1?,1????1,2,?1? Fz?2,?3,1????1,2,??z?(2,?3,1)?8.17设F(x,y.z)具有连续的偏导数，且对任意实数t有F(tx,ty,tz)(k是自然数)，试证：曲面F(x,y,z)在任意点处Fx2?Fy?Fz?0）。
22?tF(x,y,z)k
?0上任意一点的切平面相交于一定点。（设
证明：由F?tx,ty,tz??tF(x,y,z),k令u?tx,v?ty,w?tzk?1
两边同时对t求导xF?u?yF?v?zF?w?ktF(x,y,z)
k
xtF?u?ytF?v?ztF?w?ktF(x,y,z)
kxFx??yFy??zFz??ktF(x,y,z)
令 ?x0,y0,z0?为曲面上任一点，则
F(x0,y0,z0)?0且x0Fx??x0,y0,z0??y0Fy??x0,y0,z0??z0Fz??x0,y0,z0?
=ktkF?x0,y0,z0??0
曲面在点?x0,y0,z0?的切平面为
?x?整理得xFx??即xFx??x0?Fx??x0,y0,z0???y?y0?Fy??x0,y0,z0???z?z0?Fz??x0,y0,z0??0
yFy??zFz??x0Fx??y0Fy??z0Fz??0
yFy??zFz??0
此平面必过原点（0，0，0），故得证。 8.18求空间曲线x2法平面方程。 解答：设 于是，FxF(x,y,z)?x2?y2?z2?3x?0，2x?3y?5z?4?0在点(1,1,1)处的切线和
?y2?z2?3x，G(x,y,z)?2x?3y?5z?4
?2x?3
Fy?2y
Fz?2z
Gx?2
Gy??3
Gz?5
它们在点P0(1,1,1)的值为
Fx??1
Fy?2FxGx
FyGyFz?2?12
2?3Gx?2
Gy??3
Gz?5
由
??F,G???x,y?????1?0得曲线在（1，1，1）的切线方程。
x?12?325?y?125?12?z?1?122?3 即
x?116?y?19?z?1?1
曲线在（1，1，1）的法平面方程为
16?x?1??9(y?1)?(z?1)?0
即 16x?9y?z?24
8.19
????求函数u?xy?yz?xz在点(1,1,1)沿方向l?i?j?k?u?x的方向导数。
解答：
?y?z?2,(1,1,1)
?u?y?x?y(1,1,1)?2,
?u?z?x?y(1,1,1)?2,
cos??cos??cos??13
?u????u?xcos???u?ycos???u?zcos??23
8.20求函数u?u?x?xa22?yb22?zc22在点M(x,y,z)沿此点向径方向的方向导数。
?u?z2zc2解答：
?2xa2,?u?y?2yb2,?,
cos??xx?y?z222,cos??yx?y?z222,cos??zx?y?z222,
?u?l??u?xcos???u?ycos???u?zcos?
2ur=
x22?y2?z2(xa22?yb22?zc22)=
8.21求函数z导数。 解答：
zx?12x?y,Z?143?3x4?xy?y3在M(1,2)处与ox轴的正向成135°角的方向的方向
zy?x?3y,
2在M(1,2)处的值
?13
X(1,2)
?Zy(1,2)
?cos??cos135??22
cos??cos45?22
??2?2?2??13??????zxcos??zycos??14?????2???2?2?????z
8.22求函数z?x?3xy32?15x?12y的极值。
22??fx(x,y)?3x?3y?15?0解答：???fy(x,y)?6xy?24y?0
求得稳定点?1,2??2,1???1,?2???2,?1?
A?fxx?6x
B?fxy?6y2
C?fyy?6x
在点(1,2)处AC在点(2,1)处AC?B2?6?6?12??108?0,A?6?0不是极值点
2?B2?12?12?6?108?0.A?12?0极小值
2在点(-1,-2) 处AC在点(-2,-1) 处AC?B?B??108?0不是极值点
22?(?12)(?12)?(?6)?108?0,A??12?0是极大值点
z极小(2,1)=-28, z极大(-2,-1)=28
8.23求函数z?1x?1yx?0,y?0在x?y?2的条件下的极值。