x?0时，有
ln[1?(?x?x)(?y?y)]?x?xlimf(?x?x,?y?y)?lim?x?0?y?0?x?0?y?0
=limln(1?xy?y?x?x?y??x?y)?x?x?x?0?y?0
=
ln(1?xy)x?f(x,y)
当x?0时，有
limf(0,y??y)?lim(y??y)?y
?y?0?y?0故此函数在定义域上是连续的.
二、1.设u 解：
?u?x??f(x,y,z).y??(x,t).t??(x,z).其中f可微?，?有偏导数，求
?u?x??
?f?xxz??f?y(???x??????t?x)
?z?z,?x?y2.设F(,yz)?0其中F(u.v)可微，此方程确定一函数z?z(x,y),求。
解：等式分别对x,y求导
?F?uz?x(z2?z?x)??F?v(?y1?zz2?x)?0
?F?u(?x1?zz2?y)??F?vz?y(z2?z?y)?0
得
?z?xz?x?F?u?F?u?y?F?v ,
?z?yz?x?F?u?F?v?y?F?v
3．设z解
由于f存在二阶连续偏导数,所以?z?x?y2?1xf(xy)?yf(x?y)有连续二阶偏导，
f二阶可导求
?z?x?y2
??z?y?x2,可先求?z?y,然后再求?z?y?x2.
?z?y2?1xxf?(xy)?f(x?y)?yf?(x?y)?f?(xy)?f(x?y)?yf?(x?y)
?z?x?y??z?y?x2?yf??(xy)?f?(x?y)?yf??(x?y)
22??2x?3y?z??8三、设?22??x?2y?3z?17确定了隐函数y2?y(x),z?z(x)
当x?1,y??2,z?2时，求
dydx,dzdx,dzdx2
解：方程组对x解得y??则y????4x?3y??2zz??0求导??2x?2y??6zz??0
?2x,z???xz2
?z32?2,z????xz 时，有y2当x?1,y??2,z?22??2,z???12,z????58
四、在曲线x面x??t,y??t,z?3t?1上求一点 ，使曲线在此点处的切线平行于平
2y?z?4
解：设曲线上任一点对应的切向量为
?T??x?(t),y?(t),z?(t)???1,?2t,6t?
?N平面的法向量为 ??1,2,1?
??由曲线平行于平面得 T?N?1?4t?6t?0 故 t??12
从而x故(?12??,?1412,74,y??14,z?74
)即为所求点。
五、在曲面z法线方程. 解：设曲面z?xy?xy上求一点，使这点的法线垂直于平面x?3y?z?9?0,并求此
上任一点(x0,y0,z0)对应的法向量为
?N1???y0,?x0,1?
?平面x?3y?z?9?0的法向量为 N2??1,3,1?
由法线垂直于平面得 x0故曲面z?xy??3,y0??1
上点(?3,?1,3)的法线垂直于平面
且法线方程为 （x+3）+3（y+1）+（z-3）=0
即 x+3y=z+3=0
六、求函数u解：
?u?xA?3x?2y?z?2xy?2x?3y?6z222在A(1,?2,1)点的梯度大小和方向
??3?6x?2y?2A?0 ,
?u?yA?2x?4y?3A
?u?zA?2z?6A?8
??gradu??3j?8k
373gradu?73, cos??0,cos???,cos??873
七、求
L:x?tf(x,y,z)?2x2322?y2?z2?sin(x,y,z)在点(0,1,2)沿曲线
?t,y?t,z?2t的t减少方向的方向导数
?2
解：
fx?4x?yzcos(xyz)(0,1,2)fy??2y?xzcos(xyz)fz?2z?xycos(xyz)(0,1,2)??2
(0,1,2)?4
?2n?2t?3t,2t,2??t?1???1,2,2?
t?1减少的方向为 l??1,?2,?2?且cos??3??(0,1,2),cos??cos???23
?f?l23
八、求函数z?x2?xy?y2?3ax?3by的极值
解：
?fx?2x?y?3a?0??fy?x?2y?3b?0 得驻点(2a?b,2b?a)
2fxx?2,fxy?1,fyy?2
AC?B?3?0,A?0
2故在点(2a?b,2b?a)有极小值
九、证明：函数z证明：由已知得
?z?x??(1?e)sinxyf(2a?b,2b?a)?3(ab?a?b)
2?(1?e)cosx?y?eyy有无穷多个极大值而没有任何极小值
?z?y?e(coxs?1?y)y
?x?(2n?1)??y令
?z?x?0，
2?z?y?0 解得
?x?2n???y?0 或??z2y??2 (n为整数)
又
A??z?x22??(1?e)cosxy ,B??x?y??esinx
C??z?y2?e(cosx?2?y)y
在(2n?,0)处 ???2?0,A?0故f(2n?,0)?2为极大值；
在?(2n?1)?,0?处 ??0,故f?(2n?1)?,0?非极值。