解 根据题意可知，t?0时，v0?8ms?1 ，x0?10m 12.（1）∵a?dv?6t dt?2当t?2s时，∴a?12ms
（2）由dx?vdt?(8?3t2)dt两边积分可得
∴质点的运动方程为x?10?8t?t （3）第二秒内的平均速度为v?
3?x10dx??(8?3t2)dt
0t?xx2?x1??15m.s?1 ?tt2?t12－13 质点作圆周运动，轨道半径r = 0.2 m，以角量表示的运动方程为
??10?t??t2 （SI）。试求：（1）第3s末的角速度和角加速度；（2）第3s 末的切向加
速度和法向加速度的大小。
解 （1）因为 ??10?t?1212?t 2故 ??d?/dt?10???t ， ??d?/dt?? 以t = 3s代入，???13?rad?s ，???rad?s?2
（2） at?r??0.2?m?s?2， an?r?2?33.8?2m?s?2
2－14 一质点在半径为r = 0.10m的圆周上运动，其角位置为??2?4t。（1）在 t = 2.0s时，质点的法向加速度和切向加速度各为多少？（2）t为多少时，法向加速度和切向加速度的量值相等？
3解 (1)由于??2?4t，则 ??3?1d?d??12t2，???24t dtdt法向加速度 an?r??14.4t 切向加速度 at?r??2.4t
24t = 2.0s时，ant?2s?r?2?2.30?102m?s?2， at22t?2s?rd??4.8m?s?2 dt（2）要使an?at,则有 r(12t)?r?24t
所以 t = 0.55 s
2－15 一汽车发动机曲轴的转速，在12 s内由20 r/s均匀地增加到45 r/s 。试求： （1）发动机曲轴转动的角加速度； （2）在这段时间内，曲轴转过的圈数。
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解 （1）由于角速度??2?n（n为单位时间内的转数），根据角加速度的定义
?????02?(n?n0)d???13.1ra?ds?2 ，在匀速转动中角加速度为 ??dttt12???0?t?t??(n?n0)t 22（2）发动机曲轴转过的角度为 ???0t?在12 s内曲轴转过的圈数为 N?n?n0??t?390 圈 2?22－16 某种电机启动后转速随时间变化的关系为
???0(1?e)，式中
?t2（1) t = 6 s时的转速；(2) 角加速度随时间变化的规律；(3) 启动后6 ?0?9.0rad? s?1。求：s内转过的圈数。
解 (1)根据题意，将t = 6 s代入，即得
???0(1?e)?0.95?0?8.6s?1
tt?t2?d??0?2（2）角加速度随时间变化的规律为 ???e?4.5e2s?2
dt2（3）t = 6 s时转过的角度为 ????dt???00660(1?e)dt?36.9rad
?t2则t = 6 s时电动机转过的圈数 N??2??5.87 圈
2－17 半径为r = 0.50m的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比，在t = 2 s时，测得轮缘上一点的速度值为4.0m?s。求：（1）该轮在t′ = 0.5s的角速度，轮缘上一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在2s内所转过的角度。
2解 由题意 ??kt，因ωR = v ,可得比例系数 k??1?t2?v?2 rt2所以 ???(t)?2t
(1) 则t′= 0.5s时，角速度为 ??2t??0.5rad?s 角加速度 ??2?12d??4t??2rad?s?2 dt切向加速度 at?r??1m?s?2
总加速度 a?at?an?r?et?r?en a?2(r?)2?(r?2)2?1.01m?s?2
220023(2) 在2 s内该点所转过的角度 ???0???dt??2tdt?t?5.33rad
232－18 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2 m 的圆形轨道运动。已知质点的
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角速度与时间的平方成正比，即??kt（SI制）。式中k为常数。已知质点在第2 s末的速度为32 m /s 。试求t = 0.5 s时质点的速度和加速度。
解 首先确定常数k 。已知t = 2 s时，v = 32 m/s , 则有 k?22故 ??4t ，v?R??4Rt，at?2?t2?dv?8Rt dt?2v?3?4s 2Rtv2?2m.s?2 当t ＝ 0.5 s v?4Rt?2m.s， at?8Rt?8m.s， an?R2?1 a?2at2?an?8.25m.s?2，??tan?1an?14.0o at2－19 由山顶上以初速度v0水平抛出一小球，若取山顶为坐标原点，沿v0方向为x 轴正方向，竖直向下为 y 轴正方向，从小球抛出瞬间开始计时。试求：（1）小球的轨迹方程；（2）在t 时刻，小球的切向加速度和法向加速度。
解 （1）小球在x轴作匀速直线运动 x?v0t， y轴上作自由落体 y?12gt 2g2上述两方程联立消t，可得小球的轨迹方程 y?x 22v0（2）vx?v0 ，
vy?gt
222vx?vy?v0?g2t2
t时刻，小球的速率 v?dv?t时刻，小球的切向加速度 at?dt因为 a?g?g2tv?gt2022
222at2?an，所以，法向加速度 an?g?at?v0gv?gt2022
2－20 已知声音在空气中传播的速率为344 m/s 。当正西方向的风速为30 m/s时，声音相对于地面向东、向西和向北传播的速率各是多大？
解 v1?30m/s，
v2?344m/s
向东传播的声音的速率 vE?v1?v2?30?344?374m/s 向西传播的声音的速率 vW?v2?v1?344?30?314m/s 向北传播的声音的速率 vN?v2?v1?3442?302?343m/s
222－21 一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处。 已知A、B间的距
离为l，空气相对地面的速率为u，飞机相对空气的速率v ’ 保持不变。试证：
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2l； v?2lv?（2）假定空气的速度方向向东，飞机往返飞行时间为t2?2； 2v??u（1）假定空气是静止的（即u＝0），飞机往返飞行时间为t1?（3）假定空气的速度方向向北，飞机往返飞行的时间为t3?试证：由速度关系 v = u + v? （1）u＝0时，飞机往返飞行时间为 t1?2lv??u22。
ll2l?? v?v?v?l ?v?u（2）空气相对地面的速度为u向东，从A ? B 所需时间为从B ? A 所需时间为
l v??ull2lv???2 v??uv??uv??u2u
v
v
B
所以，飞机往返飞行时间为 t2?（3）空气相对地面的速度为u向北，如图2－21所示，
u A
v?
( a )
v?
( b )
习题 2－21
从A ? B，飞机相对地面的速度为v?v?2?u2；从B ? A飞机相对地面的速度的大小2l?v
与从A ? B等值，但方向相反。所以，飞机往返飞行的时间为
t3?2lv??u22
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第3章 牛顿定律及其内在随机性
3-1 一木块能在与水平面成? 角的斜面上匀速下滑。若使它以速率v0沿此斜面向上滑动，试证明它能沿该斜面向上滑动的距离为 v02/（4gsinθ）。
解 选定木块为研究对象，取沿斜面向上为x轴正向，
N N
下滑 mgsin??Ff?0 （1） f 上滑 ?mgsin??Ff?ma （2） 由式（2）知，加速度为一常量，有
2 v2?v0?2as （3）
22v0v0解上述方程组，可得木块能上滑的距离 s?? ?2a4gsin??1f
mg 上滑
mg 下滑
3-2 在一水平直路上，一辆车速v?90km?h的汽车的刹车距离为s = 35 m 。如果路面相同，只是有1?10的下降斜度，这辆汽车的刹车距离将变为多少？
v2解： 在水平路上?k为定值，则 ??kmg?ma ，而 a??
2sv2所以 ?k?
2gs设斜面夹角为?，刹车距离为s?，加速度为a?，则 mgsin???kmgcos??ma?
v2?v2所以 s??? ?2a?2(gsin???kcos?)代入已知数值，注意sin? = 0.1 ,可得 s??39.5m
3-3 如图所示，质量m = 0.50kg的小球挂在倾角??30的光滑斜面上。 （1）当斜面以加速度a = 2.0m/s2水平向右运动时，绳中的张力及小球对斜面的正压力各是多大？（2）当斜面的加速度至少为多大时，小球将脱离斜面？
解：(1)对小球 x向： Tcos??Nsin??ma y向： Tsin??Ncos??mg?0 可得
T?m(acos??gsin?)?0.5?(2?cos30?9.8sin30)?3.32N N?m(gcos??asin?)?0.5?(9.8?cos30?2sin30)?3.75N 小球对斜面的压力 N??N?3.75N
oooooN
T
mg
10