v2物块沿法向 mgcos??T?m
R物块脱离球面时，支持力T= 0，所以 ??arccos2?48.2o 3物块此时的速率为 v?gRcos??o2Rg 3ov的方向与重力P方向的夹角为 ??90???41.8
4－21 一质量为m的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，离开地面的高度等于地球半径的2倍（即2R）。试以m、R ，引入恒量G ，地球质量M表示出：（1）卫星的动能；（2）卫星在地球引力场中的引力势能；（3）卫星的总机械能。
GmMmv2解 （1）对卫星用牛顿第二定律 ?23R(3R)由此式可得卫星的动能为 Ek?1GmMmv2? 26RGmM（2）引力势能为 Ep??
3RGmMGmMGmM???（3）卫星的总机械能为 E?Ek?Ep? 6R3R6R4－22 一轻弹簧的原长为l0，劲度系数为k，上端固定，下端悬挂一质量为m的物体，
先用手托住，使弹簧保持原长。然后突然将物体释放，物体达最低位置时弹簧的最大伸长量
和弹性力是多少？物体经过平衡位置时的速率为多少？
解 以v表示物体再落下一段距离y时的速度，则机械能守恒定律给出
?mgy?121ky?mv2?0 22物体达到最低位置时，v?0,y?ymax，上式给出 ymax?2mg/k 此时弹力为最大值 fmax?kymax?2mg 物体经过平衡位置时，应有 mg?ky0
m2g21m2g2112122?k2?mv0?0 由以上各式得 ?mgy0?ky0?mv0??22k22k由此得物体的速度为 v0?y0(2mg?ky0/m?y0g?mg k4－23 质量m1的弹丸A ，穿过如题图所示的摆锤B后，速率由v减少到v/2 。已知摆锤的质量为m2，摆线长度为l ，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动 ，v的最小值应为多少？
21
解 碰撞 m1v?m1v?m2v2 22m2v3摆锤达最高点（v3为摆锤在最高点的速率） m2g?
l摆锤从最低点到最高点 所以 v?1122m2v2?2m2gl?m2v3 22A O ? 2m25gl m1l m1 v B 4－24 如题图所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为
习题4－23 用图 M ，从与水平成倾角? ＝ 30o斜面上的点B由静止下滑。设斜面
对车的阻力为车重的0.25倍，矿车下滑距离l时，与缓冲弹簧一
道沿斜面运动。当矿车使弹簧产生最大压缩形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹性力作用，使之返回原位置B再装货。试问要完成这一过程，空载时与满载时车的质量之比应为多大？
解 设弹簧被压缩的最大距离为x，矿车在下
M 滑和上行的全过程中，摩擦力所做的功为
l B Af?(0.25mg?0.25Mg)(l?x) 式中M和m分别为矿车满载和空载时的质量。
根据功能原理，在矿车运动的全过程中，摩α 擦力所做的功应等于系统机械能增量的负值，故有 m2
Af???E??(?EP??Ek)
习题4－24 用图
由于矿车返回原位时速度为零，故?Ek = 0 ；而?Ep?(m?M)g(l?x)sin?,故有 Af??(m?M)g(l?x)sin? 可解得
m1? M34－25 如图所示，质量为m1的钢球以速率为v射向质量为m2 的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态，
m2
但可在水平面上作无摩擦滑动。求子弹射入靶内弹簧
m1 v 后，弹簧的最大压缩距离 .
解 设弹簧的最大压缩量为x0 。小球与靶共同运动的速率为v1 。 m1v?(m1?m2)v1 由机械能守恒定律，有
习题4－25 用图
1112m1v2?(m1?m2)v12?kx0 222所以 x0?m1m2v
k(m1?m2) 22
4－26 质量为7.2?10?23kg，速率为6?10m.s的粒子A与另一个质量为其一半而静止的粒子B发生二维完全弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为5?10m.s。求：（1）粒子B的速率及相对粒子A原来速度方向的偏角；（2）粒子A 的偏转角。
解 取如题图所示的坐标，在碰撞前后系统动量守恒
y vB 7?17?1vA
mvBcos??mv?定律，有 mvA?Acos? 2mvBsin??mv? 0?Asin? 2又由机械能守恒定律，有
? ? v?A
x
11?m?2122mvA???vB?mv?A 22?2?2习题4－26 用图
碰撞后B粒子的速率为 vB?227?12(vA?v?A)?4.69?10m?s
各粒子相对原粒子方向的偏角分别为
22vA?3v?3vA ??arccos?22o20?,??arccosB?54o6?
4vAv?4vAA4－27 如图所示，一质量为M的物块放置在斜面的最低端A处，斜面的倾角为? ，
高度为h ，物块与斜面的动摩擦因数为 ? ，今有一质量为m的子弹以速度v0沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动。求物块滑出
h 顶端时的速度大小 .
v0
解 子弹与物块撞击过程，在沿斜面的方向?? M α m 上，根据动量守恒有
A
mv0cos??(M?m)v1
在物块上滑的过程中，物块刚滑出斜面顶端时的速
度为v2 ,并取A点的重力势能为零。由系统的功能原理可得
习题4－27 用图
??(m?M)gcos?所以
h112?(m?M)v2?(m?M)gh?(m?M)v12 sin?222?m?v0cos???2gh(?cot??1) v2???M?m?
23
第5章 角动量守恒定律及刚体的转动
5-1 质点在有心力作用下沿光滑水平面上的圆周运动，当圆的半径为r0时，质点的速率为v0 。若在有心力作用下使圆半径逐渐减小。试求圆半径减小到r 时，质点的速率v 是多少？
解 在有心力作用下，质点的角动量守恒 mr0v0?mrv 由此可得 v?v0r0 r5-2 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。彗星离太阳最近的距离是
r1?8.75?1010m，近日点时它的速率是v1?5.46?104m/s。彗星离太阳最远的距离r2?5.26?1012m，远日点时彗星的速率是多少？
解 彗星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角动量守恒 mr1v1?mr2v2 由此得 v2?r1v1?9.08?102m?s?1 r24-3 若将月球轨道看作是圆，其转动周期按27.3d计算。试求月球对地球中心的角动量及掠面速度。
解 月球对地球中心的角动量为 LM?mMRMvM?2?mMRM/TM=2.86×1034 kg ? m2 / s
2LMdS2.86?1034月球对地心的掠面速度 ???1.94?1011m2/s 22dt2mM2?7.35?105-4 1988年12月，我国发射的通信卫星在到达同步轨道之前，先要在一个大的椭圆形“转移轨道”上运行若干圈。此转移轨道的近地点高度为h1 = 205.5 km，远地点高度为h2 = 35835.7 km ，卫星越过近地点时的速率为v1 = 10.2 km / s 。已知地球半径为R?6378km。（1）求卫星越过远地点时的速率v2 ；（2）求卫星在此轨道上运行的周期； （提示：椭圆面积公式S??2(r1?r2)r1r2）。
解 （1）由卫星对地心的角动量守恒 m(R?h1)v1?m(R?h2)v2 可得卫星越过远地点时的速率为 v2?v1?（2）椭圆面积 S?掠面速度
R?h1= 1.59 k m / s
R?h2?2(r1?r2)r1r2
ds1?v1r1 dt2 24
卫星的运行周期 T??(r1?r2)r2S?38057s?10.6h ?dS/dtv1r15-5（1）设氢原子中电子在圆形轨道上以速率v绕质子运动。作用在电子上的向心力大小为
e24??0r2（库仑力），其中e为电子的电量，r为轨道半径，?0为恒量（真空中电容率）。
e2试证明轨道半径为 r? 24??0mv（2）假设电子绕核的角动量为h/2?的整数倍，其中h为普朗克常量。试证明电子的可能轨道半径由下式确定： r?nh 2?mv（3）是由以上两式消去v，从而证明符合这两个要求的轨道半径必须满足以下关系式：
n2?0h2 r?
?me2mv2证 （1）电子绕质子作圆周运动的向心力是F?，有 ?24??0r2r4??0re2e2则电子的轨道半径为 r? 24??0mvhe2h（2）根据题意，即L?n，有 L?mv ?n22?2?4??0mv则电子可能的轨道半径为 r?e2nh 2?mvn2?0h2（3）根据（1）和（2）的结果消去v ，得 r?
?me25-6 质量m = 5 kg的质点在xoy平面上运动，作用在质点上的力为 ，已知t = 0 时，质点静止于坐标F??2?6t?i?8j（力的单位为N ，时间的单位为s ）
原点处。试求：2秒末（1）该质点的动量；（2）作用力F对原点的力矩；（3）该质点对原
点的角动量。
F1??(2?6t)i?8j? m5dv1由a?得 dv?adt??(2?6t)i?8j?dt
dt512两边积分得： v?(2t?3t)i?8tj
516(i?j)， p?mv?16i?16j 当t?2s时 v?5解（1） a??? 25