第6章 几何公理法简介
6.3 第五公设问题
6.3.1普雷菲定理
1795年普雷菲提出一条跟欧氏第五公设等价的命题，它的直观明显性比第五公设好些，通称欧几里得几何平行公理：通过直线外一点有唯一直线与该线平行．
先证第五公设蕴涵平行公理．
设u为平面上一已知直线，M是不在u上的任一已知点，求证有唯一直线通过M而与u不相交．
''作MN?u于点N，用u表示在M与MN垂直的直线，则u不可能与u相交，否则''与外角定理矛盾．平行线的存在性证明了．再设u是通过M与u,u',MN将构成一三角形，
u'相异的任一直线，那么u''必然在直线MN的某一侧跟MN组成锐角．应用眼前的假设第
五公设于两直线u,u''及截线MN，可知u必与u在这一侧相交．
再证平行公理蕴涵第五公设．
设直线a,b被直线c所截，在c一侧的内角之和
， ?2??1?2d （d表直角）
''从而另一侧内角和
?1??2?2d．
'通过a跟c的交点引直线a，使其与c所成的角?1,?2满足
''?2??1?2d,?1'??2?2d．
''''于是?1?2d??2??1，所以ab，因为若a跟b相交，要得出与外角定理相矛盾的结果．
由假设通过a,c的交点只有一直线与b平行，所以与a相异的直线a必与b相交．还要证明a和b相交于?2和?1所在的一侧，这可从?1?2d??2??1以及外角定理立即得出．
'
6.3.2 萨开里的试证
1733年意大利数学家萨开里出版了名为《免除一切污点的欧几里得》，这里“欧几里得”指《原本》．在这里他对第五公设的试证工作发展得相当远，得到一系列结果．如果在关键
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的时刻他再推进一步，高斯、波里埃和罗巴切夫斯基的发现就可提前一世纪．他的后继人也没做这样的工作．似乎他的工作被人遗忘了．后来意大利有名的数学家倍尔脱拉米（1835——1900年）才指出，一般归之于勒戎得、罗巴切夫斯基、波里埃的一些定理，萨开里已发现过了．
他讨论一种四角形被称为“萨开里四角形”，两下底角是直角，两侧边相等：
AC?BD,?A??B?d.
定理1 在四边形CABD中，若
?A??B?d且AC?BD，则 ?C??D.
证明 我们只需取下底AB的中垂线KL为对称轴折叠即得． 由此推出 ?KLC??KLD?d,CL?LD
即是说：萨开里四角形两底中点的联线是两底的中垂线．
定理2 设四边形ABCD中?A??B?d，且AC?BD，则?C??D． 证明 延长AC至C?使AC??BD，则按定理1有 ?C???C?DB??D
又在?DCC?应用外角定理得?C??C?．所以 ?C??C???D
萨开里关于他的四角形CABD曾做过三种假设：
⑴ 锐角假设：?C??D?d，于是推出CD?AB，并且三角形的内角和小于二直角．
⑵ 直角假设：?C??D?d，于是推出CD?AB，并且三角形的内角和等于二直角。．
⑶ 钝角假设：?C??D?d，于是推出CD?AB，并且三角形的内角和大于二直角．
由于推理步骤相似，我们只就锐角假设讨论． 定理3 在锐角假设下有CD?AB． 证明 既然假设?C?d??A， 又由定理1 ?K??L?d
于是鉴于定理1和蔼从四角形AKLC得 CL?AK.
故有 CD?2CL?2AK?AB，即 CD?AB． 定理4 在锐角假设下，三角形的内角和小于两直角．
证明 由于一个三角形可分解成两个直角三角形，我们只须就直角三角形加以证明．设在?ABC中，?A?d.如图作BD?AB并取BD?AC，则CABD为萨开里四角形．于是由锐角假设和定理3，CD?AB.现在就?ABC和?DBC看，有两边相等而第三边不等，所以???，从而有
????????d(作图) 所以 ?A?????2d
萨开里证明过，只要在一个萨开里四角形中，上底角是直角，那么第五公设就成立．他
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象所有数学家一样相信直角假设成立面另外两个假设必须抛弃．他首先把钝角假设导致矛盾，所以只要将锐角假设也导致矛盾，那么第五公设就证明了．他从锐角假设出发得出一系列属于罗巴切夫斯基几何的命题，尽管这些命题与我们的直观不相符，却找不到一个逻辑矛盾。但在一连串正确推理以后，他发现倘若锐角假设成立，那么无限地接近的两直线在无穷远点应有共同的垂线，他认为这是“与直线的本质抵触的．”于是他认为第五证明了．明白地，他本人也感到锐角假设的逻辑矛盾并未找到，他重新回到证明它“自相矛盾”的问题．为此，他用两种方法计算一条线段的长度，得到两个结果，他认为找到矛盾了．实际是他计算中有错误．
6.3.3勒戎得的试证
勒戎得不仅在分析和力学方面有出名的工作，在几何方面也很有成就．1794年他的著作《几何原理》对后来的教科书有很大的影响．他试证第五公设时讨论了三种互相排斥的假定：
I．三角形的内角和大于两直角， II．三角形的内角和等于两直角， III．三角形的内角和小于两直角．
他用正确的推理把第一个假定推向矛盾，若能把第三个假定也引向矛盾，那就证明了三角形内角和等于两直角．同时也就证明了第五公设．可惜在把第三个假定引向矛盾时，他自己不觉察用上一个与第五公设等价的命题．
定理I 如果每个三角形的内角和等于二直角，则第五公设成立．
证明 设每个三角形的内角和为二直角，又设a为一直线，A为其外一点。求证通过A只有一直线与a不相交．
作AB?a于B，并过A作直线a??AB，我们知道a?与a不相交．
设b是通过A的任意直线，而?是b与线段AB所成的锐角．我们来证明直线b与直线a相交在锐角所在的一侧．为此，在直线a上锐角所在的一侧作点B1使BB1?AB．再在同一侧作B2使B1B2?AB1．一般，作点Bn使Bn?1Bn?ABn?1.我们来观察三角形
ABB1,AB1B2,?,ABn?1Bn.因为假设每个三角形的内角和为?，所以在等腰?ABB1中，顶
点为A和B1的内角都等于?.由此推出?AB1B2中顶点为B2的内角等于?.一般，在
48?ABn?1Bn中顶点为Bn的内角等于?2n?1.因之
? ?BABn?2??2n?12.
既然设?为锐角，就有??? ?于是有
??，其中??0．取n充分大，使
2n?1??
???BABn
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这样，直线b夹在?BABn的边AB和ABn中间，因此它与直线a应相交于点B与Bn之间．即是说，通过A只有直线a?与a不相交．证完．
现在让我们回过来讨论三角形的内角和问题，并引进两符号． 设ABC为一三角形，则
S(ABC)?A?B?C,D?ABC????S?ABC? 分别称为这三角形的角和和角亏（亏值）．
定理II 在每个三角形?中，S?????因之D????0． 证明 设?ABC的内角为?,?,?,并设定理的反面成立：
????????
延长边AB，并在其上作n?1个三角形BB1C1,B1B2C2,?,Bn?2Bn?1Cn?1，使与?ABC都合同．以?表示角?????，则
???????????.
易见三角形CBC1,C1B1C2,?,Cn?2Bn?2Cn?1都合同，因之 CC1?C1C2???Cn?2Cn?1?e
由于?ABC和?CBC1有两边分别相等而夹角不等，因之有c?e．写出折线
ACC1C2?Cn?1Bn?1的长度大于封闭线段ABn?1，得
b??n?1?e?a?nc或n?c?e??a?b?e 因 a?b?e?c?e?0,
可见若定理II的反面成立，那么不论正整数n为何值总有 n?c?e??a?b?e
与阿基米德公理抵触．因此定理II得到反证．
注意：在此证法中用过阿基米德公理，曾无限延长一直线，因之在非阿基米德空间或空间不是无穷的，定理II就未必成立．
定理III 只要有一个三角形的内角和等于二直角，那么每个三角形的内角和等于二直角．
先证几个引理．
引理1 设?ABC被截线BP分为两个三角形，则它的角亏等于两个部分三角形的角亏之和．
事实上， D?ABP????????1??1?,
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D?BPC??????2??2???,
因之 D?ABP??D?BPC??2??????1??2??1??2??? ?2??????1??2????? ???????1??2??? ?D?ABC?．
引理2 设B1,C1是?ABC边AB,AC上的点，则?AB1C1的角亏不会超过?ABC的角亏．
事实上，由定理II，三角形的角亏是大于或等于零的，于是由引理1得 D?ABC??D?ABC1??D?BC1C?
?D?AB1C1??D?B1C1B??D?BC1C?, 所以 D?AB1C1??D?ABC?．
引理3 设在两个直角三角形ABC和A?B?C?中，直角边AC和BC分别大于直角边A?C?和B?C?，并设?ABC的内角和为两直角，则?A?B?C?的内角和也等于两直角．
移动?A?B?C?使C?重合于C且A?,B?分别落在AC,BC上A??,B??处．由引理2， D?ABC??D?A??B??C??D?A?B?C?? 由假设D?ABC??0，又由定理II，D?A?B?C???0．可见 D?A?B?C???0即S?A?B?C????.
引理4 设有一个直角三角形内角和为二直角，则每个直角三角形的内角和都是二直角．
我们来讨论两个直角三角形ABC和A?B?C?．已知?ABC的内角和为二直角，要证?A?B?C?内角和也是二直角．如果前者两条直角边分别大于后者的直角边，则结论由引理3立刻得到．如果?ABC至少有一条直角边短于?A?B?C?的直角边，则为了证明引理4，我们可作出一个新的直角三角形使其内角和象?ABC一样等于两直角，而它的直角边有充分大的长度．这只要在?ABC旁添加一个全等的?BAC??，使斜边重合而所得的四边形对边相等．因?ABC和?ABC??的内角和都等于两直角，显而易见四边形的内角都是直角．于是移动就可用相等的矩形铺满平面．
容易知道图上用粗线表示的是矩形，用对角线分它成两个全等的直角三角形，它们的内角和都等于两直角．这样的直角三角形的直角边，显然可以做到有适当的长度．
既然可以作出一个直角三角形，其内角和为二直角，而其直角边都大于?A?B?C?的直角边，应用引理3，可知随意取的直角三角形A?B?C?的内角和等于两直角．
我们已可证明定理III了：只要有一个三角形它的内角和等于两直角，则每个三角形的内角和都是二直角．
设有?ABC和?A?B?C?，已知S?ABC???，求证S?A?B?C????.
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