作出两个三角形所有的高，其中至少各有一个顶点的高它的垂足落在对边上而不在边的延长线上．分别取适当的记号，无妨设这样的顶点在?ABC是A，而在?A?B?C?是A?．
记所说的高为AP和A?P?．按引理2，
D?ABP??D?ABC?;
由假设，D?ABC??0;而定理II，D?ABP??0;所以得D?ABP??0，即S?ABP???．
既有了一个直角?ABP其内角和为?，按引理4有 S?A?B?P????,S?A?P?C????. 相加得
S?A?B?C????．
确立了定理I-III，人们自然想方设法证明这样一个命题：有一个三角形存在，它的内角和等于二直角．因为如果这样一个三角形找到了，按定理III，每个三角形的内角和都是二直角，再应用定理I，就证出第五公设了．
下面是这命题的一个错误的证明，请注意错在何处．
设有任一锐角O，取其一边上一点B向另一边作垂线BA．由定理II，?OAB的内角和不会超过二直角，即D?OAB??0．我们要证明的是D?OAB??0．
假如相反地D?OAB????0，在边OA上取点A1使有AA联BA并在A1作1?OA，1，直线OA的垂线．此垂线与直线OB的交点用B1表示．由引理1， D?OA1B1??D?OAB??D?BAA. 1??D?BA1B1??OAB跟?A1AB合同，因此D?BAA1??D?OAB???，而
D?OA1B1??2?.
再在已知角的边OA上取点A2使A1A2?OA1，在A2引OA的垂线，用B2表示它与直线OB的交点．仿上得 D?OA2B2??4?．
继续如此，我们作出?OAnBn满足 D?OAnBn??2n?.
取充分大的n使2???，就得出D?OAnBn???．但三角形的角亏不可能大于?．所以
n反证了D?OAB??0,S?OAB???．由上所说，第五公设也就证明了．
这番议论的弱点在于：没有证明点Bk的存在而利用了它们！要证明这些Bk存在，不
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利用第五公设是不行的．
6.3.4第五公设的等价命题
下面我们罗列一些命题，其中每一个都跟第五公设等价．有一些是容易证明的，有的比较困难．其中不少的命题就是历代数学家在试证第五公设时不知不觉引进来的，他们以为证明成功了，实质上只不过用了另一个命题替代了第五公设．
1、 通过直线外一点只能引唯一直线和它平行． 2、 两条平行线被第三线所截，同位角相等．
3、 在已知直线同侧与它有同样距离的点组成一直线． 4、 从两平行线中一条上的点到另一线的距离都相等． 5、 三角形的内角和等于两直角． 6、 相似三角形存在．
7、 一直线的垂线和斜线总相交．
8、 平面上存在一个内角和为的三角形．
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