AFEBDC 分析：在（1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在（2）中，添加一条辅助线，转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。 证明：（1）∵∠BED是?ABE的一个外角， ?∠BED?∠BAE 同理，∠DEC?∠CAE
?∠BED?∠DEC?∠BAE?∠CAE 即∠BEC?∠BAC （2）延长BE交AC于F点
?AB?AF?BE?EF 又EF?FC?EC
?AB?AF?EF?FC?BE?EF?EC 即AB?AC?BE?EC
例2. 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。
已知：如图，在?ABC中，?C?90?，?EAB、?ABD是?ABC的外角，AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD。 求证：∠AFB＝45° CAEFBD 分析：欲证∠AFB?45?，须证∠FAB?∠FBA?135? ∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD
∴要转证∠EAB＋∠ABD＝270°
又∵∠C＝90°，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 ∴问题得证
证明：∵∠EAB＝∠ABC＋∠C ∠ABD＝∠CAB＋∠C
∠ABC＋∠C＋∠CAB＝180°，∠C＝90°
?∠EAB?∠ABD?∠ABC?∠C?∠CAB?∠C?180??90??270? ∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD ?∠FAB?∠FBA?11?∠EAB?∠ABD???270??135? 22 在?ABF中，∠AFB?180??∠FAB?∠FBA?45?
【实战模拟】
1. 已知：三角形的三边长为3，8，1?2x，求x的取值范围。
???ABC中，AB?BC，?BCA??，?CAD??， 2. 已知：D点在BC的延长线上，使AD?BC，求α和β间的关系为？
BA??CD 3. 如图，?ABC中，?ABC、?ACB的平分线交于P点，?BPC?134?，则?BAC? （ ） A. 68°
B. 80°
C. 88°
D. 46°
APBC 4. 已知：如图，AD是?ABC的BC边上高，AE平分?BAC。 求证：?EAD?1??C??B? 2ABEDC
5. 求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。
等腰三角形：
等腰三角形的性质：1.两腰相等，对应的两个底角相等； 2.三线合一定理，尤其是中点线的处理
3.满足三角形的条件，2边之和大于第三边，2边之差小于第三边。 等腰三角形的判定：1.底角相等的三角形是等腰三角形； 2.满足三线合一定理的是等腰三角形。
注：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形易错点在于没有考虑完全可能的情况，导致丢分。
例1、已知等腰三角形的一个内角为65°则其顶角为（ ）
A. 50° B. 65° C. 115° D. 50°或65°
解析：65°角可能是顶角，也可能是底角。当65°是底角时，则顶角的度数为180°－65°×2=50°；当65°角是顶角时，则顶角的度数就等于65°。所以这个等腰三角形的顶角为50°或65°。故应选D。
提示：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再求解。
例2、 已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于4，则它的周长等于_________。
解析：已知条件中并没有指明3和4谁是腰长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当3是腰长时，这个等腰三角形的底边长就是4，此时等腰三角形的周长等于10；当4是腰长时，这个三角形的底边长就是3，则此时周长等于11。故这个等腰三角形的周长等于10或11。
提示：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。
例3、 若等腰三角形一腰上的中线分周长为12cm和9cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
解析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。若设这个
等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得 或
解得5cm。
或即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是
提示：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。
二、由于题目条件得出的图形不确定性引发结论不唯一：
例4、 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为55°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
解析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为35°，图2中顶角为145°。 例6、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为45°，则底角∠B=____________。
解析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。
如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=45°，所以
∠B=∠C=
（180°－45°）=67.5°。
如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得
∠BAC=135°，所以∠B=∠C=（180°－135°）=22.5°
练习：
1．若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A．50°
B．80° C．65°或50° D．50°或80°
2.某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ） A．9cm
B．12cm C．15cm
D．12cm或15cm
2 3. 已知直角三角形两边x、y的长满足x?4?y2?5y?6?0，则第三边长
为 ．
4.若一个等腰三角形的一个角为96度，则其底掉为 ．
5.若一个等腰三角形的周长为18，则其腰长的取值范围是 ． 6.若一个等腰三角形的周长为18，则其底边的取值范围是 ．
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：
(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．
(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．