学校高三下期数学（文）教案（一）（学生卷）
专题一：空间角
一、基础梳理
1.两条异面直线所成的角
（1）异面直线所成的角的范围：(0,?2]。
（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线a,b 垂直，记作a?b。
（3）求异面直线所成的角的方法：
（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角。 直线和平面所成角范围：?0，
??。 2（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
（3）公式：已知平面?的斜线a与?内一直线b相交成θ角， 且a与?相交成?1角，a在?上的射影c与b相交成?2角，
Pa则有cos?1cos?2?cos? 。
?1?由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面 cA?O2内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直
Bb线所成角中最小的角。
?3．二面角
（1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为l，两个面分别为?,?的二面角记为??l??。 （2）二面角的平面角： l?过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内 ．．．．．．作棱的两条垂线OA,OB，则?AOB叫做二面角
OO'??l??的平面角。
说明：①二面角的平面角范围是?0,??，因此二面
BB'AA'角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。
②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角， ?组成直二面角的两个平面互相垂直。
（3）二面角的求法：（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法） （二）间接法：面积射影定理的方法。 （4）面积射影定理：
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学校高三下期数学（文）教案（一）（学生卷）
面积射影定理：已知?ABC的边BC在平面?内，顶点A??。设?ABC的面积为S，它在平面?内的射影面积为S1，且平面?与?ABC所在平面所成的二面角为?(00???900)，则
Scos??1。
S注：①面积射影定理反映了斜面面积、射影面积 和这两个平面所成二面角的平面角间的关系； ?ABC可以推广到任意的多边形。
②在二面角的平面角不易作时，经常采用 “面积射影定理法”。
AS?BDA1S1C?二、能力巩固
考点一：异面直线所成的角
例1. 如图所示，A1B1C1?ABC是直三棱柱，
?BCA?90，点D1、F1分别是A1B1和AC11
的中点，若BC?CA?CC1，求BD1与AF1所 成角的余弦值。（答案：
变式训练1：
三棱柱OAB?O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，
0B1 D1
A1 F1
C1
30） 10B A
C
O1 A1 B1
?O1OB?60?,?AOB?90?，且OB?OO1?2,
OA?3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦。
O （答案：
B
1） 7A
考点二：直线和平面所成的角
例2. 如图，在三棱柱ABC?A?B?C?中，四 边形A?ABB?是菱形，四边形BCC?B?是矩形，
C? C?B??AB,C?B??2,AB?4,?ABB??600， A? 求AC?与平面BCC?B?所成角的正切。
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B?
C
A B
学校高三下期数学（文）教案（一）（学生卷） 变式训练2：
（1）在120的二面角P?a?Q的两个面P与Q内分别有两点A、B，已知点A和点B到棱的距离分别为2cm,4cm，且线段AB?10cm。求：
①直线AB和棱a所成角的正弦值；②直线AB和平面Q所成角的正弦值。
ABC内的（2）（08全国Ⅰ11）已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ） A．
（3）如图，在矩形ABCD中，AB?33,BC?3，沿对角线BD将?BCD折起，使点C移到C?点，且C?点在平面ABD上的射影O恰在AB上。求直线AB与平面BC?D所成角的大小。
33 C?(C) B A
O A 3 B
D C D
B （4）①AB为平面?的斜线，则平面?内过A
01 3 B．2 3 C．3 3D．
2 3?点的直线l与AB所成的最小角为_____________， 最大角为__________________。平面内过A点的 直线l与AB所成角?的范围为_______________。
②AB与平面?内不过A点的直线所成的角的范围 为_______________________。
0??? ? 0 ??A l B? ③直线l1与平面?所成的角为30，直线l2与l1所成角为60，则l2与平面?所成角的取值范围是______________________。
0④（08四川卷９）设直线l?平面?，过平面?外一点A与l,?都成30角的直线有且只有 ( )
（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条
⑤过正方体的顶点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等。试写出满足条件的一个截面________________________（注：只须任意写出一个），并证明。
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学校高三下期数学（文）教案（一）（学生卷） 考点三：平面和平面所成的角——二面角的求法 例3．（07全国Ⅱ）如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为 正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点。 （1）证明EF∥平面SAD；
（2）设SD?2DC，求二面角A?EF?D的大小。
变式训练3:
（2008海淀区高三年级第一学期期末练习）如图所示， 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?900,CB?1,
SFDAEBCC1
B1
M
CA?3,AA1?6，M为侧棱CC1上一点， AM?BA1。
（1）求证：AM?平面A1BC；
A1 （2）求二面角B?AM?C的大小； （3）求点C到平面ABM的距离。 C A
变式训练4: （1）（08全国Ⅰ18）四棱锥A?BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面
B
A
ABC?底面BCDE，BC?2，CD?2，AB?AC。 ①证明：AD?CE；
?②设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角C?AD?E的大小。
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B C D
E
学校高三下期数学（文）教案（一）（学生卷）
（2）S为直角梯形ABCD所在平面外一点,?ABC?900,SA?
1面ABCD,SA?AB?BC?1，AD?，求平面SCD与平面
2SAB所成二面角的大小。
S
B A C
D
（3）（08全国Ⅰ16）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C?AB?D的余弦值为
3，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 。 3
（4）三棱锥A?BCD中，AC?BD,AD?BC,AB?CD，三个侧面与底面所成的二面角分别为?、?、?，则cos??cos??cos??____________________。
例4．如图所示，已知平行六面体 ABCD?A1BC11D1的底面ABCD D1 是矩形，且侧面ABB1A1?底面
C1 B1 M
ABCD，AB1?BB1,AN?3NB, M、E分别是B1C、AB的中点， F是EC的中点，AB?4,MN?2，
侧棱与底面ABCD成45的角。 （1）求证：MF?底面ABCD； （2）求二面角M?AB?C的大小； （3）求MN与平面BCE所成角的大小。 1
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0A1 D C
F A E
N B