近世代数模拟试题二 参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。 1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )} 2、答：（E，?）不是群，因为（E，?）中无单位元。 3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3×102+85 102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。
然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明 设e是群
若x?∈G也是a*x＝b的解，则x?＝e*x?＝(a－1*a)*x?＝a－1*(a*x?)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。
2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为，
a称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。 当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。
近世代数模拟试题三 参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、9、
mn；6、相等；7、商群；8、特征；
；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，?等等，可得总共8种。
2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：
因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ， 因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。 S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：
3、解： 1．
???(1243)(56)，
???(16524)?1；
2．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明：假定?是R的一个理想而?不是零理想，那么a?0??，由理想的定
义a?1a?1??，因而R的任意元b?b?1??
这就是说?=R，证毕。
2、证 必要性：将b代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e， 所以b=a-1。
《近世代数》模拟试卷（二）
一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）
1、设A与B都是非空集合，那么A?B??xx?A且x?B?。 （ ）
2、设A、B、D都是非空集合，则A?B到D的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f?1。 （ ）
4、如果循环群G??a?中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。 （ ） 6、群G的子群H是不变子群的充要条件为?g?G,?h?H;g?1Hg?H。 （ ） 7、如果环R的阶?2，那么R的单位元1?0。 （ ） 8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。 （ ） 9、F(x)中满足条件p(?)?0的多项式叫做元?在域F上的极小多项式。 （ ） 10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z?p?同构的子域，这里Z是整
数环，?p?是由素数p生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）
1、设A1,A2,?,An和D都是非空集合，而f是A1?A2???An到D的一个映射，那么（ ）
①集合A1,A2,?,An,D中两两都不相同； ②A1,A2,?,An的次序不能调换；
③A1?A2???An中不同的元对应的象必不相同； ④一个元?a1,a2,?,an?的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z上，a?b?a?bab； ②在有理数集Q上，a?b?ab；
③在正实数集R?上，a?b?alnb；④在集合?n?Zn?0?上，a?b?a?b。 3、设?是整数集Z上的二元运算，其中a?b?max?a,b?（即取a与b中的最大者），那么?在Z中（ ）
①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。 4、设?G,??为群，其中G是实数集，而乘法?:a?b?a?b?k，这里k为G中固定的常数。那么群?G,??中的单位元e和元x的逆元分别是（ ）
①0和?x； ②1和0； ③k和x?2k； ④?k和?(x?2k)。 5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a?bxc?1,acx?xac，那么x?（ ）
①bc?1a?1； ②c?1a?1； ③a?1bc?1； ④b?1ca。
6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类?H,aH,bH,cH?。如果6，那么G的阶G?（ ）
①6； ②24； ③10； ④12。 7、设f:G1?G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）
①f的同态核是G1的不变子群； ②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；③G1的子群的象是G2的子群； ④G1的不变子群的象是G2的不变子群。 8、设f:R1?R2是环同态满射，f(a)?b，那么下列错误的结论为（ ） ①若a是零元，则b是零元； ②若a是单位元，则b是单位元； ③若a不是零因子，则b不是零因子；④若R2是不交换的，则R1不交换。 9、下列正确的命题是（ ）
①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环； ③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。 10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（ ） ①?E:I???E:I??I:F?； ②?F:E???I:F??E:I?； ③?I:F???E:F??F:I?； ④?E:F???E:I??I:F?。
三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）
1、设集合A???1,0,1?；B??1,2?，则有B?A? 。 2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f?1?f?a??? 。
3、设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果Ai?Aj，那么
Ai?Aj?
。