4、设群G中元素a的阶为m，如果an?e，那么m与n存在整除关系为 。 5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。 6、给出一个5-循环置换??(31425)，那么??1? 。
7、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为 。
8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R当I是 。
9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果 。 10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果 。
四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备
的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分） 1、如果一个集合A的代数运算?同时适合消去律和分配律，那么在a1?a2???an里，元的次序可以掉换。
2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。
3、设I和S是环R的理想且I?S?R，如果I是R的最大理想，那么S?0。
4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有d?d'。
5、?叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a0,a1,?,an使得
a0?a1????an?nI是一个域当且仅
?0。
五、计算题（共15分，每小题分标在小题后） 1、给出下列四个四元置换
?1?1???1?22334??1?,?2???14???22344??1?,?3???23???21334??1?,?4???24???21344??3??
组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及?1?1,?2?1,?3?1,?4?1和G的所有子群。
2、设Z6???0?,?1?,?2?,?3?,?4?,?5??是模6的剩余类环，且f(x),g(x)?Z6?x?。如果计算f(x)?g(x)、f(x)?g(x)和f(x)??3?x??5?x??2?、g(x)??4?x??5?x??3?，
32f(x)g(x)以及它们的次数。
六、证明题（每小题10分，共40分）
1、设a和b是一个群G的两个元且ab?ba，又设a的阶a?m，b的阶b?n，并且(m,n)?1，证明：ab的阶ab?mn。
2、设R为实数集，?a,b?R,a?0，令f(a,b):R?R,x?ax?b,?x?R，将R的所有这样的变换构成一个集合G??f(a,b)?a,b?R,a?0?，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。
3、设I1和I2为环R的两个理想，试证I1?I2和I1?I2??a?ba?I1,b?I2?都是R的理想。
4、设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。
近世代数试卷参考解答
一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
× × √ √ × √ √ √ × ×
二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④ 三、填空题
1、??1,?1?,?1,0?,?1,1??2,?1?,?2,0?,?2,1??。 2、a。 3、?。 4、mn。 5、变换群。 6、?13524?。 7、?xiayi,xi,yi?R。 8、一个最大理想。 9、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。 10、E的每一个元都是F上的一个代数元。 四、改错题
1、如果一个集合A的代数运算?同时适合消去律和分配律，那么在a1?a2???an里，元的次序可以掉换。
结合律与交换律
2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。
消去律成立
3、设I和S是环R的理想且I?S?R，如果I是R的最大理想，那么S?0。
S=I或S=R
4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有d=d′。
一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子
5、?叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a0,a1,?,an使得
a0?a1????an?n?0。
不都等于零的元