专题限时集训(三) 平面向量
建议A、B组各用时：45分钟]
A组 高考达标]
一、选择题
→→→
1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则DA＝( ) A．(2,4) C．(1,1)
B．(3,5) D．(－1，－1)
→→→→
C DA＝CB＝AB－AC＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]
→→→
2．(2016·河北联考)在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝( ) 1→1→A.AB＋AD 223→1→C.AB＋AD 44
3→1→
B．AB＋AD 421→3→D.AB＋AD 24
→→→→→1→→1→→
B 因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)＝(AB＋AD＋
22→
DC)＝(AB＋AD＋AB)＝AB＋AD，故选B.]
3?→?31?→?1
3．已知向量BA＝?，?，BC＝?，?，则∠ABC＝( )
?22??22?A．30° C．60°
B．45° D．120°
1→
2
→
1→23→1→42
3333?→?31?→?1→→→→→
A 因为BA＝?，?，BC＝?，?，所以BA·BC＝＋＝.又因为BA·BC＝|BA442?22??22?3→
||BC|cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC2＝30°.故选A.]
→→→
4．(2016·武汉模拟)将OA＝(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到OB，则OB＝( ) A.?C.?
?1－31＋3?
，?
2??2
?－1－3－1＋3?，?
2?2?
B.?D.?
?1＋31－3?
，?
2??2
?－1＋3－1－3?，?
2?2?
6?1－3?2→
A 由题意可得OB的横坐标x＝2cos(60°＋45°)＝2?－?＝，纵坐标y24??4
1
＝2sin(60°＋45°)＝2?
2?1＋3?6→?1－31＋3?
，则OB＝?＋?＝，?，故选A.] 24?2??4?2
→1→→→→→
5．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则向量BA在
2→
BC方向上的投影等于( )
【导学号：85952018】
A．－3C. 2
3 2
B．
3 2
D．3
→1→→→→→C 由AO＝(AB＋AC)可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以|OA|＝|OB|＝|OC2→→
|.又因为|AO|＝|AC|＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知∠ABC3→→→→
＝30°，且|AB|＝3，所以BA在BC方向上的投影为|BA|·cos∠ABC＝3×cos 30°＝，
2故选C.]
二、填空题
6．在如图3-2所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．
xy
图3-2
6
设e1，e2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝5
2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(x a＋y b)，∴e1－2e2＝2λ(x－y)e1??λ＋λ(x－2y)e2，∴?
?λ?
x－2y＝1，
x－2y＝－2，
3
x＝，??λ∴?5
y＝??2λ，
x6
则的值为.] y5
→→→→→→→→→7．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，
2
则实数λ的值为________．
7→→→→
∵AP⊥BC，∴AP·BC＝0， 12
→→→
∴(λAB＋AC)·BC＝0，
→→→→→→→2→2→→
即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB＋AC－AC·AB＝0. →→→→
∵向量AB与AC的夹角为120°，|AB|＝3，|AC|＝2， 7
∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.]
12
→→
8．(2016·湖北七州联考)已知点O是边长为1的正三角形ABC的中心，则OB·OC＝__________.
1
－ ∵△ABC是正三角形，O是其中心，其边长AB＝BC＝AC＝1，∴AO是∠BAC的平分6线，且AO＝
3→→→→→→→→→→→→→2
，∴OB·OC＝(AB－AO)·(AC－AO)＝AB·AC－AO·AC－AO·AB＋AO＝3
331?3?2
×1×cos 30°－×1×cos 30°＋??＝－.] 336?3?
1×1×cos 60°－三、解答题
?π?9．设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈?0，?.
2??
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． 解] (1)由|a|＝(3sin x)＋(sin x)＝4sin x， |b|＝(cos x)＋(sin x)＝1， 及|a|＝|b|，得4sinx＝1.4分 1?π?又x∈?0，?，从而sin x＝，
2?2?π
所以x＝.6分
6
(2)f(x)＝a·b＝3sin x·cos x＋sin x ＝
311sin 2x－cos 2x＋ 222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
π?1?＝sin?2x－?＋，9分
6?2?
π?π?π??当x＝∈?0，?时，sin?2x－?取最大值1.
2?6?3??
3
3
所以f(x)的最大值为.12分
2
→→
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知BA·BC＝2，cos B1
＝，b＝3.求： 3
(1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值．
→→
解] (1)由BA·BC＝2得cacos B＝2.1分 1
因为cos B＝，所以ac＝6.2分
3由余弦定理，得a＋c＝b＋2accos 又b＝3，所以a＋c＝9＋2×2＝13.
??ac＝6，解?22
?a＋c＝13，?
2
22
2
2
B．
得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.4分
因为a>c，所以a＝3，c＝2.6分 (2)在△ABC中，sin B＝1－cos B＝
2?1?222，7分
1－??＝
3?3?
c22242
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.8分
b339
因为a＝b>c，所以C为锐角，因此cos C＝1－sin C＝
21－??42?27
?＝.10分 ?9?9
17224223
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.12分
393927
B组 名校冲刺]
一、选择题
1．(2016·石家庄一模)已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段AB交于→→→
点D，若OC＝λOA＋μOB(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) C．(1，2]
B．(1，＋∞) D．(－1,0)
→→→→
B 由题意可得OD＝k OC＝kλOA＋kμOB(0 ＝1，则λ＋μ＝>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.] k 4 1 2．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t3的值为( ) A．4 9C. 4 B．－4 9D．－ 4 2 B ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(t m＋n)＝0，即tm·n＋|n|＝0， ∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|＝0. 3212 又4|m|＝3|n|，∴t×|n|×＋|n|＝0， 43解得t＝－4.故选B.] 2 图3-3 →→→→ 3．如图3-3，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE等于( ) 3A．－ 41C．－ 4 →→ B ∵BF＝2FO，圆O的半径为1， 1→ ∴|FO|＝， 3 8→→→→→→→2→→→→→?1?2 ∴FD·FE＝(FO＋OD)·(FO＋OE)＝FO＋FO·(OE＋OD)＋OD·OE＝??＋0－1＝－.] 9?3?4．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积：a?b＝(a1，a2)?(b1，b2)＝(a1b1， 8 B．－ 94D．－ 9 ????a2b2)．已知向量m＝?，4?，n＝?，0?，点P在y＝cos x的图象上运动，点Q在y＝f(x)26 ? ? ? ? →?ππ?的图象上运动，且满足OQ＝m?OP＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)在区间?，?上的 ?63?最大值是( ) 【导学号：85952019】 A．4 1π B．2 5