C．22 D．23
A 因为点P在y＝cos x的图象上运动，所以设点P的坐标为(x0，cos x0)，设Q点的1?π???，4坐标为(x，y)，则OQ＝m?OP＋n?(x，y)＝??(x0，cos x0)＋?，0??(x，y)＝??2??6?
→
→
1π??x＝x，0＋1π?x0＋，4cos x0???26?2?6???
?y＝4cos x0，
π???x0＝2??x－6?，??即???y＝4cos x0
π???y＝4cos ?2x－?，
3??
π??即f(x)＝4cos?2x－?，
3??当x∈?
?π，π?时， ??63?
πππ2πππ由≤x≤?≤2x≤?0≤2x－≤， 633333π?π?1??所以≤cos ?2x－?≤1?2≤4cos ?2x－?≤4，
3?3?2??所以函数y＝f(x)在区间?二、填空题
π
5．(2016·广州二模)已知平面向量a与b的夹角为，a＝(1，3)，|a－2b|＝23，
3则|b|＝__________.
2 由题意得|a|＝1＋
2
?π，π?上的最大值是4，故选A.]
??63?
3
2
＝2，则|a－2b|＝|a|－4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|
222
π22
＝2－4×2cos|b|＋4|b|＝12，解得|b|＝2(负舍)．]
3
→??→ABAC?→→→→→?＋6．已知非零向量AB与AC满足·BC＝0, 且|AB－AC|＝23，点D是△ABC→??|→
?AB||AC|?→→
中BC边的中点，则AB·BD＝________.
6
→??→ABAC?→→→＋－3 由?·BC＝0得BC与∠A的角平分线所在的向量垂直，所以AB＝AC，BC→??|→
?AB||AC|?→→→
⊥AD.又|AB－AC|＝23，
→
所以|CB|＝23， →
所以|BD|＝3， →
AB·BD＝－BA·BD＝－|BD|2＝－3.]
三、解答题
2π????7．已知向量a＝?2sin?ωx＋?，0?，b＝(2cos ωx,3)(ω>0)，函数f(x)＝a·b的3????
→→→→
图象与直线y＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在0,2π]上的单调递增区间．
2π????解] (1)因为向量a＝?2sin?ωx＋?，0?，b＝(2cos ωx,3)(ω>0)，所以函数f(x)
3????2π?13???＝a·b＝4sin?ωx＋?cos ωx＝4?sin ωx·?－?＋cos ωx·?cos ωx＝??3??2??2??π??2
23·cosωx－2sin ωxcos ωx＝3(1＋cos 2ωx)－sin 2ωx＝2cos?2ωx＋?＋3，4
6??分
由题意可知f(x)的最小正周期为T＝π， 2π
所以＝π，即ω＝1.6分
2ω
π?π?π?π?(2)易知f(x)＝2cos?2x＋?＋3，当x∈0,2π]时，2x＋∈?，4π＋?，8分 6?6?6?6?ππ
故2x＋∈π，2π]或2x＋∈3π，4π]时，函数f(x)单调递增，10分
66所以函数f(x)的单调递增区间为?
?5π，11π?和?17π，23π?.12分
???12??1212??12
→→→
8．已知△ABC的周长为6，|BC|，|CA|，|AB|成等比数列，求： (1)△ABC面积S的最大值； →→
(2)BA·BC的取值范围．
→→→2
解] 设|BC|，|CA|，|AB|依次为a，b，c，则a＋b＋c＝6，b＝ac.2分
a2＋c2－b2a2＋c2－ac2ac－ac1π
在△ABC中，cos B＝＝≥＝，故有0＜B≤，4分
2ac2ac2ac23
7
又b＝ac≤
a＋c6－b2＝2
，从而0＜b≤2.6分
1121ππ2
(1)S＝acsin B＝bsin B≤·2·sin ＝3，当且仅当a＝c，且B＝，即△ABC22233为等边三角形时面积最大，即Smax＝3.8分
a＋c－b→→
(2)BA·BC＝accos B＝＝
222
a＋c2
－2ac－b＝2
－b－3b2
＝－(b＋3)＋
22
2
2
2
27.10分
∵0＜b≤2，∴2≤→BA·→
BC＜18， 即→BA·→
BC的取值范围是2,18).12分
8