初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想
本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。 一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题 例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
图1 备用图
思路点拨
1．第（2）题BP＝2分两种情况．
2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系． 3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ． 解答：（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．
在Rt△CDE中，CD＝5，所以ED?CD?tan?C?5?31525，EC?． ?444（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是
△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．
由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN．
所以
34PMDM4??．所以QN?PM，PM?QN．
43QNDN3
图2 图3 图4
①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1． 此时QN?33319PM?．所以CQ?CN?QN?4??． 4444②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．
1
3151531PM?．所以CQ?CN?QN?4??． 4444QDDN3（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，tan?QPD???．
PDDM4BA3在Rt△ABC中，tan?C??．所以∠QPD＝∠C．
CA4此时QN?由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ． 因此△PDF∽△CDQ．
当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．
①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）． 此时PM?4445QN?．所以BP?BM?PM?3??． 33335425CH，可得CQ???．
258CQ②如图6，当QC＝QD时，由cosC?所以QN＝CN－CQ＝4?此时PM?257． ?（如图2所示）
8847725． QN?．所以BP?BM?PM?3??3666③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．
图5 图6
考点伸展：如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解BP?25． 64x?4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点3二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题 例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线y??A的坐标是（-2，0）．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S． ① 求S与t的函数关系式；
② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不
存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
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图1
思路点拨：
1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点． 2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．
3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．
4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能． 解答：
（1）直线y??4x?4与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）． 3Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5． 因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．
（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H． 在Rt△BNH中，BN＝t，sinB?44，所以NH?t． 55如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时
S?11424?OM?NH?(2?t)?t??t2?t．定义域为0＜t≤2． 2255511424?OM?NH?(t?2)?t?t2?t．定义域为2＜t≤5． 22555如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时
S?
图2 图3
②把S＝4代入S?
22424t?t，得t2?t?4． 5555解得t1?2?11，t2?2?11（舍去负值）．
因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时t?2?11． ③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ?5?t，cosB?3， 5 3
所以
5?t325?．解得t?． t58如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，t?5． 不存在∠ONM＝90°的可能． 所以，当t?25或者t?5时，△MON为直角三角形． 8
图4 图5
考点伸展：在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．
图6 图7
三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题 例3：（2010年山西省中考第26题）在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
图1 图2
思路点拨：1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．
2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，
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DO与DM、DO与DN为邻边．
解答：(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．
在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝35，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)． (2) 因为OE＝2EB，所以xE?22xB?2，yE?yB?4，E(2,4)． 33设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得?以直线DE的解析式为y??(3) 由y???b?5,1 解得k??，b?5．所
2?2k?b?4.1x?5． 21x?5，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝55． 2①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,
55)，点N的坐标为(－5,)． 22②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．
③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P． 由△NPO∽△DOF，得
NPPO??DOOFNONPPO5??，即．解得NP?5，
DF51055PO?25．此时点N的坐标为(?25,5)．
图3 图4
考点伸展
如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．
图5 图6
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