数列专练·作业(二十五)
1．(2014·成都二次诊断)(本小题满分12分)
已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和Sn＝pn2＋2n，n∈N*. (1)求p的值及an；
(2)在等比数列{bn}中，b3＝a1，b4＝a2＋4，若等比数列{bn}的前1
n项和为Tn.求证：数列{Tn＋6}为等比数列．
解析 (1)由已知a1＝S1＝p＋2，S2＝4p＋4，即a1＋a2＝4p＋4， ∴a2＝3p＋2.
由已知a2－a1＝2，∴p＝1.(3分) ∴an＝2n＋1，n∈N*.(5分)
(2)在等比数列{bn}中，b3＝a1＝3，b4＝a2＋4＝9.(7分) 1
由b3＝b1·3，即3＝b1·3，解得b1＝3. 2
2
1
∴{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列．(8分) 1n?1－3?31
∴Tn＝＝6×(3n－1)．(10分)
1－3111
即Tn＋6＝6×3n＝2×3n－1.
1Tn＋6
11*
又∵T1＋6＝2，＝3，n≥2，n∈N， 1
Tn－1＋6
11
∴数列{Tn＋6}是以2为首项，3为公比的等比数列．(12分) 2．(2014·都江堰市4月模拟)(本小题满分12分)
设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已
知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
n
(2)令bn＝a，求数列{bn}的前n项和Tn.
n
解析
?a1＋a2＋a3＝7，
(1)由已知得??a1＋3?＋?a3＋4?
＝3a2，?2
解得a2＝2.(2分)
2
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝q，a3＝2q. 2
又S3＝7，可知q＋2＋2q＝7，
1
即2q－5q＋2＝0，解得q＝2或2.由题意知q>1，∴q＝2，∴a1
2
＝1.(5分)
故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(6分)
nn12n
(2)由于bn＝a＝n－1，∴Tn＝20＋21＋…＋n－1.(8分)
22nn－1n112
∴2Tn＝21＋22＋…＋n－1＋2n. 2
1111n1n
两式相减，得2Tn＝1＋21＋22＋…＋n－1－2n＝2(1－2n)－2n＝2－
2n＋2
2n.(10分)
∴Tn＝4－
n＋2
.(12分) 2n－13．(2014·浙江宁波一模)(本小题满分12分)
n
设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝3，n∈N*. (1)求数列{an}的通项；
n
(2)设bn＝a，求数列{bn}的前n项和Sn.
n解析 (1)∵a1＋3a2＋3a3＋…＋3
22
n－1
n
an＝3，①
n－2
∴当n≥2时，a1＋3a2＋3a3＋…＋3①－②，得3
n－1
n－1
an－1＝3，②
11
an＝3，an＝3n.(4分)
11
在①中，令n＝1，得a1＝3.∴an＝3n.(6分) n
(2)∵bn＝a，∴bn＝n·3n.
n
∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n.③ ∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④
④－③，得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)．(10分) 即2Sn＝n·3
n＋1
3?1－3n?
－. 1－3
?2n－1?3n＋13∴Sn＝＋4.(12分) 4
4．(2014·沈阳质量监测二)(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足b2＋c2
＝bc＋a2.
(1)求角A的大小；
(2)已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA＝1，且a2，a4，4a8成等比数列，求{}的前n项和Sn.
anan＋1
解析 (1)∵b2＋c2－a2＝bc， b2＋c2－a2bc1∴2bc＝2bc＝2.
1
∴cosA＝2.
π
又A∈(0，π)，∴A＝3.(5分) (2)设{an}的公差为d，
12
由已知得a1＝cosA＝2，且a4＝a2·a8. ∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)． 又d不为零，∴d＝2.(9分) ∴an＝2n.(10分) ∴
4111
＝＝n－.(11分) anan＋1n?n＋1?n＋1
11111111∴Sn＝(1－2)＋(2－3)＋(3－4)＋…＋(n－)＝1－＝
n＋1n＋1n
.(12分) n＋1
5．(2014·成都四校3月联考)(本小题满分12分)
已知等差数列{an}满足a3－a1＝6，且a1，a2，a6成等比数列． (1)求{an}的通项公式；
??an，当an为奇数时，(2)设bn＝?求{bn}的前n项和Tn.
?－an，当an为偶数时，?
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d，则由a3－a1＝2d＝6，∴d＝3.(2分)
所以由a1，a2，a6成等比数列，得a1(a1＋5×3)＝(a1＋3)2，解得a1＝1.(4分)
于是an＝1＋(n－1)×3＝3n－2，即{an}的通项公式是an＝3n－2.(6分)
(2)因为数列{an}的公差为3，即an＋1＝an＋3(n∈N*)，所以{an}中
的项奇偶性交替出现，而a1＝1，所以当an为奇数时，n为奇数，当an为偶数时，n为偶数，所以
??an，当n为奇数时，bn＝?(7分)
?－a，当n为偶数时.?n
对{bn}的前n项和Tn： ①当n为偶数时，
Tn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋an－1－an ＝(a1－a2)＋(a3－a4)＋…＋(an－1－an) n＝(－3)×2 3n
＝－2；(9分) ②当n为奇数时，
Tn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋an－2－an－1＋an ＝(a1－a2)＋(a3－a4)＋…＋(an－2－an－1)＋an n－1
＝(－3)×2＋3n－2 3n－1
＝2.(11分)
?综上，T＝?3n
－?2，当n为偶数时.
n
3n－1
2，当n为奇数时，
(12分)
6．(2014·南昌二模)(本小题满分12分)
1
已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1＝2，前n项和为Sn，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列．
(1)求等比数列{an}的通项公式；
(2)对n∈N*，在an与an＋1之间插入3n个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)因为a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列， 所以a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5.(2分) 即2a6－3a5＋a4＝0，所以2q2－3q＋1＝0. 1
因为q≠1，所以q＝2.(4分)
1
所以等比数列{an}的通项公式为an＝2n.(6分) an＋an＋1n33n
(2)由题设及(1)知bn＝2·3＝4(2)，(9分) 33n＋1
－??32293n
故Tn＝4×＝34[(2)－1]．(12分)
1－2