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考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙O1与⊙O2相交于A,B两点，AB是⊙O2的直径，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，点P分别与⊙O1、⊙O2交于C,D两点
证明：（1）PA?PD?PE?PC；
（2）AD?AE．
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系Ox中，O为极点，点A(2,（1）求经过O,A,B的圆C的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆D的参数方程为?x??1?acos?（?是参数，a为半径），若圆C与圆D相切，求半径a的值． ?y??1?asin???2)，B(22,?4)．
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数f(x)?|3x?1|?ax?3
（1）若a?1，解不等式f(x)?5；
（2）若函数f(x)有最小值，求实数a的取值范围．
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2013届高三第三次模拟考试数学试卷（理工类）参考答案 一、选择1-12 BADDA DCBBC BD
57二、填空题13、 14、 15、49 16、①②③⑤
63三、解答题
17解（1）h?bsin??csin? ………5分
（2）法一：在?ABC中，由余弦定理AC2?a2?b2?2abcos(???) ………9分 在?ACD中，由余弦定理AD2?AC2?c2?2cACcos(?????) 所以AD?a2?b2?2abcos?(??)?c2?2ca2?b2?2abcos?(??)cos(???) ………12分
（2）法二：在?ABC中，由正弦定理得分
以下同法一
18解法一（1）因为BD?2AD?8，AB?45，由勾股定理得
asin(???)?ACsin(???)，所以AC?asin(???)sin(???)……9
BD?AD，因为平面PAD?平面ABCD，平面PAD?平面
ABCD=AD，BD?面ABCD，所以BD?平面PAD
BD?面MBD，所以平面MBD?平面PAD ………6分 （2）如图，因为BD?平面PAD，所以平面PBD?平面PAD，所以?APD?60?，做PF?AD于F，所以PF?面ABCD，
PF?23，设面PFC?面MBD=MN，面MBD?平面ABCD所以
M
面PF//面MBD，所以PF//MN，取DB中点Q，得CDFQ为平行四边形，由平面ABCD边长得N为FC中点，所以MN?12PF?3 ………12分
z 解法二（1）同一
（2）在平面PAD过D做AD垂线为z轴，由（1），以D为原点，DA,DB为x,y轴建立空间直角坐标系,设平面PBD法向量为u?(x,y,z)，设P(2,0,a)，锐角?PAD所以a?2，由
u?DP?0,u?DB?0，解得u?(?a,0,2)，PA?(2,0,?a)，
|cos?PA,u?|?4aa?42?32，解得a?23或a?233?2（舍）
x
y 设PM??PC，解得M(2?4?,4?,23?23?)
因为面MBD?平面ABCD，AD?BD，所以面MBD法向量为DA?(0,0,4)，所以
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，所以M到平面ABD的距离为竖坐标3． ………12分 219解（1）设抽取4张卡片即结束游戏为事件A，取4张步数要大于等于7，卡片可以是2个A、1个2、1个3或1个A、2个2、1个3， 所以P(A)?214113C4C2A4?C4A3A34A7DA?DM?0，解得??1?37 ………5分
（2）由题意X?{3,4,5,6} ………6分 P(X?3)?3A33A7?135
P(X?4)?214113C4C2A4?C4A3A34A7?37
P(X?5)?535311424A5?C4A5?C4C2C2A4?C4A4A1515C2A5?C2A56A757?47105
P(X?6)??221 ………10分 5
6
X P
EX?4841053 4
13537
47105221
………12分
220解（1）设P(x,y)，所以M(x,0),N(0,y)，由AM?BM??ON?0得x2??y2?a2 ①当??0时，曲线C是焦点在x轴的双曲线； ②当0???1时，曲线C是焦点在y轴的椭圆；
③当??1时，曲线C是圆；
④当??1时，曲线C是焦点在x轴的椭圆； ………6分 （2）①当??0且??1时，曲线C是椭圆，曲线C1方程为?x2?y2?a2,设D(x,y) 所以两曲线四个交点坐标x?y?22a21??，所以四边形DEFG为正方形； ………9分
②设D(x,x)，当AD?DF时，AD?DF?(x?a,x)?(?2x,?2x)?0且
解得??3． ………12分 21解（1）设g(x)切点(x0,ln(ax0))，g?(x0)?1x0?k，
?g(x0)?ln(ax0)?kx0?1?0，?ax0?1，
设f(x)切点(x0,f(x0))，f?(x0)?2ax0?1?k?1，?a?x0?1
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?a?k?1 ………5分 （2）令h(x)?f(x)?g(x)?ax2?x?ln(ax)，即h(x)min?0 h?(x)?2ax2?x?1x，令p(x)?2ax2?x?1，??1?8a?0
所以p(x)?0有两不等根x1,x2，x1x2??12a?0，不妨令x1?0?x2，
2所以h(x)在(0,x2)上递减，在(x2,??)上递增，所以h(x2)?ax2?x2?ln(ax2)?0成立
2?x2?1?0，所以ax2?因为p(x2)?2ax21?x22x2
所以h(x2)?令k(x)?k?(x)??1?x22?ln1?x22x2?0,且x2?1?1?8a4a?21?8a?1
1?x2?ln1?x2x?1?x2?ln2x?ln(1?x)
(x?1)(x?2)2x(x?1)，所以k(x)在(0,1)上递增，在(1,??)上递减
所以k(x2)?k(1)?0，又h(x2)?1?x22?ln1?x22x2?0，所以x2?1代入ax2?1?x22x2,a?1
所以a?{1} ………12分 22证明：（1）因为PE,PB分别是⊙O2割线，所以PA?PE?PD?PB① 又PA,PB分别是⊙O1的切线和割线，所以PA2?PC?PB② 由①②得PA?PD?PE?PC ………5分
（2）连接AC,DE，设DE与AB相交于点F，因为BC是⊙O1的直径，所以?CAB?90?，所以AC是⊙O2的切线，由（1）得AC//DE，所以AB?DE，所以AD?AE ………10分 23解（1）??22cos(???4) ………5分
（2）a?2或a?32． ………10分 24解：（Ⅰ）a?1时，f(x)?|3x?1|?x?3.
原不等式的解集为{x|?13≤x≤}. ………5分 24 - 9 -
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1?(3?a)x?2,(x≥)??3（Ⅱ）f(x)?|3x?1|?ax?3??
?(a?3)x?4.(x?1)?3??3?a≥0,函数f(x)有最小值的充要条件为?即?3≤a≤3 ………10分
a?3≤0,?
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