山东省各地市2014届高三一模数学试题?威海一模?理科数学
∴直线AC与平面CBF所成角的正弦值为20. 解：(Ⅰ) 由8Sn?an2?4an?3①
知8Sn?1?an?12?4an?1?3(n?2,n?N)② ----------------------1分
由①-②得8an?(an?an?1)(an?an?1)?4an?4an?1
整理得(an?an?1?4)(an?an?1)?0(n?2,n?N) ----------------------2分 ∵{an}为正项数列∴an?an?1?0,，∴an?an?1?4(n?2,n?N) ----------------------3分 所以{an}为公差为4的等差数列，由8a1?a12?4a1?3,得a1?3或a1?1 ----------4分 当a1?3时，a2?7,a7?27，不满足a2是a1和a7的等比中项. 当a1?1时，a2?5,a7?25，满足a2是a1和a7的等比中项.
所以an?1?(n?1)4?4n?3. ----------------------6分 (Ⅱ) 由an?4n?3得bn?[log2(5 -------------------12分 5an?3)]?[log2n]， ----------------------7分 4mm?1由符号[x]表示不超过实数x的最大整数知，当2?n?2所以令S?b1?b2?b3?时，[log2n]?m，----------------------8分
b2n?[log21]?[log22]?[log23]?[log22n]
?4??n?1??n
?0?1?1?2??3?∴S?1?21?2?22?3?23?4?24?(n?1)?2n?1?n① ----------------------9分
2S?1?22?2?23?3?24?4?25?(n?1)?2n?2n② ----------------------10分
①-②得
?S?2?22?23?24?...?2n?1?(n?1)2n?n 2(1?2n?1)nn??(n?1)2?n?(2?n)2?n?21?2?S?(n?2)2n?n?2
即b1?b2?b3?b2n?(n?2)2n?n?2. ----------------------12分
21. 解:（Ⅰ）∵A(?a,0),设直线方程为y?2(x?a),B(x1,y1)
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令x?0,则y?2a,∴C(0,2a), ----------------------2分 ∴AB?(x1?a,y1),BC?(?x1,2a?y1) ----------------------3分
6BC 13661312(2a?y1),整理得x1??a,y1?a --------------------4分 ∴x1?a=(?x1),y1?13131919∵AB?132122a2b23∵B点在椭圆上,∴()?()?2?1,∴2?, ----------------------5分
1919ba431a2?c2321?e?e??,∴即,∴ ----------------------6分 242a4b2322（Ⅱ）∵2?,可设b?3t.a?4t,
a4∴椭圆的方程为3x2?4y2?12t?0 ----------------------7分
?3x2?4y2?12t?0由?得(3?4k2)x2?8kmx?4m2?12t?0 ----------------------8分 ?y?kx?m∵动直线y?kx?m与椭圆有且只有一个公共点P ∴??0,即64k2m2?4(3?4m2)(4m2?12t)?0
整理得m?3t?4kt ----------------------9分 设P(x1,y1)则有x1??∴P(?223m8km4kmy?kx?m???, 113?4k22(3?4k2)3?4k24km3m,) ----------------------10分
3?4k23?4k2又M(1,0),Q(4,4k?m)
若x轴上存在一定点M(1,0)，使得PM?QM, ∴(1?4km3m,?)?(?3,?(4k?m))?0恒成立
3?4k23?4k222整理得3?4k?m, ----------------------12分
22∴3?4k?3t?4kt恒成立,故t?1
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x2y2所求椭圆方程为??1 ----------------------13分
4322. 解：(Ⅰ) f?(x)?aex(x?2)， g?(x)?2x?b ----------------------1分
由题意，两函数在x?0处有相同的切线.
?f?(0)?2a,g?(0)?b,?2a?b,f(0)?a?g(0)?2,?a?2,b?4，
?f(x)?2ex(x?1),g(x)?x2?4x?2. ----------------------3分
(Ⅱ) f?(x)?2ex(x?2)，由f?(x)?0得x??2，由f?(x)?0得x??2，
?f(x)在(?2,??)单调递增，在(??,?2)单调递减. ----------------------4分
t??3,?t?1??2
① 当?3?t??2时，f(x)在[t,?2]单调递减，[?2,t?1]单调递增，
∴f(x)min?f(?2)??2e?2. ----------------------5分
② 当t??2时，f(x)在[t,t?1]单调递增，?f(x)min?f(t)?2et(t?1)；
?2???2e(?3?t??2)?f(x)??t ----------------------6分
??2e(t?1)(t??2)（Ⅲ）令F(x)?kf(x)?g(x)?2kex(x?1)?x2?4x?2，
由题意当x??2,F(x)min?0 ----------------------7分 ∵?x??2,kf(x)?g(x)恒成立，?F(0)?2k?2?0,?k?1 ----------------------8分
F?(x)?2kex(x?1)?2kex?2x?4?2(x?2)(kex?1)， ----------------------9分
111,?x?ln；由F?(x)?0得x?ln kkk11∴F(x)在(??,ln]单调递减，在[ln,??)单调递增 ----------------------10分
kk12①当ln??2，即k?e时，F(x)在[?2,??)单调递增，
k2F(x)min?F(?2)??2ke?2?2?2(e2?k)?0，不满足F(x)min?0. ----------------11分
e1222② 当ln??2，即k?e时，由①知，F(x)min?F(?2)?2(e?k)?0，满足
kex??2，由F?(x)?0得ex? 8 / 9
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F(x)min?0. ---------------12分
③当ln111??2，即1?k?e2时，F(x)在[?2,ln]单调递减，在[ln,??)单调递增 kkk1F(x)min?F(ln)?lnk(2?lnk)?0，满足F(x)min?0.
k综上所述，满足题意的k的取值范围为[1,e2]. ----------------------13分
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