全国各地数学中考卷
25．（13分）如图①，在锐角△ABC中，D、E分别为AB、BC中点，F为AC上一点，且∠AFE＝∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）求证：DM＝DA；
（2）点G在BE上，且∠BDG＝∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF; （3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH＝∠B，若BG＝1，求EH的长．
B E 第25题图① D F C B G E 第25题图② A A Ｍ D Ｍ F C 解：（1）证明：∵DM∥EF， ∴∠AMD＝∠AFE．
∵∠AFE＝∠A，∴∠AMD＝∠A． ∴DM＝DA．
（2）证明：∵∠DGB＝180o－∠B－∠BDG， ∠A＝180o－∠B－∠C， ∠BDG＝∠C， ∴∠DGB＝∠A． ∵∠A＝∠AFE， ∴∠DGB＝∠AFE． ∵∠DGE＝180o－∠DGB， ∠EFC＝180o－∠AFE， ∴∠DGE＝∠EFC．
又∵DE是中位线，∴DE∥AC．∴∠DEB＝∠C． ∴△DEG∽△ECF． （3）提示：如答图，
由△BDG∽△BED，得BD2?BG?BE， 由△EFH∽△ECF，得EF?EH?EC． 由BD＝DA＝DM＝EF，且BE＝EC， 得EH＝BG＝1．
B F H G E 第25题答图 C 2A Ｍ D 专业·严谨·实用·便捷- 6 -
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26．（13分）如图，抛物线y?x2?4x与x轴交于O、A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x＋m与对称轴交于点Q．
（1）这条抛物线的对称轴是___ __，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是______; （2）若两个三角形面积满足S?POQ＝S?PAQ，求m的值；
（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD＋DQ的最大值；②PD·DQ的最大值．
解：（1）x＝2 45o
（2）设直线PQ交x轴于点B，分别在△POQ和△PAQ中作PQ边上的高OE和AF． 按点B的不同位置分三种情况讨论如下：
①如答图①，若点B在线段OA的延长线上，OE>AF， S?POQ＝S?PAQ不成立． ②如答图②，若点B在线段OA上， ∵S?POQ＝S?PAQ，∴
第26题图 备用图 O A x O A x y y 13 1313OE1?． AF3∵OB＝2OE，AB＝2AF． ∴AB＝3OB．
∵A（4，0），∴OA＝4． ∴OB＝1． ∴B（1，0）．
∵点B在直线y＝x＋m上， ∴m＝－1．
③若点B在线段AO的延长线上，与②类似，可得OB＝OA＝2．∴B（－2，0）． ∴m＝2．
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综上所述，当m＝－1或2时，S?POQ＝S?PAQ．
y 13 B A x y y Q O O E P Q F A x P O A x P Q 第26题答图① 第26题答图②
第26题答图③
（3）①如答图④，过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H． 则△CHQ是等腰直角三角形．
由C（2，2），A（4，0）得直线AC与x轴所夹锐角的度数为45o．
∴CD是等腰直角三角形CHQ斜边上的高． ∴DQ＝DH． ∴PD＋DQ＝PH．
过点P作PM⊥CH于点M，则△PMH也是等腰直角三角形．∴PH＝2PM．
第26题答图④ O P Q M C H D A x y ∵点P在抛物线y?x2?4x上，设它的横坐标为n，则它的纵坐标为n2?4n． ∴点M的纵坐标为2，∴PM＝?n2?4n?2． 配方，得?n2?4n?2＝?(n?2)2?6． ∵0＜n＜4，
∴当n＝2时，PM取得最大值是6．
∵PD＋DQ＝ PH＝2PM，∴PD＋DQ的最大值为62． ②由①可得PD＋DQ≤62． 设PD＝a，则DQ≤62－a．
∴PD·DQ≤a(62?a)＝?a2?62a＝?(a?32)2?18． ∵a的取值范围是0＜a≤
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∴当a＝32时，PD·DQ的最大值为18． 附加说明：（对a的取值范围的说明）
设点P的坐标为（n，n2?4n），延长PM交AC于点N．
2222PN＝[4?n?(n2?4n)]＝?(n?3n?4)＝
2222325?(n?)2?2． 2282∵?＜0，0＜n＜4，
2325∴当n＝时，a有最大值为2．
2825∴0＜a≤2．
8PD＝a＝
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